Друга теорема Вейєрштрасса

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Дру́га теоре́ма Вейєрштрасса доводить досягнення неперервною функцією своїх точних меж. Вперше сформулював і довів німецький математик Карл Вейєрштрасс.

Формулювання теореми[ред.ред. код]

Якщо функція \!f(x) неперервна на проміжку \![a, b], то вона досягає на цьому проміжку своїх точних верхньої та нижньої меж. (тобто на проміжку \![a, b] знайдуться точки \!x_1 та \!x_2 такі, що \!f(x_1)=M, \!f(x_2)=m.

Доведення[ред.ред. код]

Доведемо, що функція \!f(x) неперервна на проміжку \![a, b] досягає своєї точної верхньої межі \!M (досягнення точної нижньої межі доводиться аналогічно).

Припустимо супротивне, тобто припустимо, що функція \!f(x) не приймає значення точної верхньої межі у будь-якій точці проміжка \![a, b]. Тоді для всіх точок проміжка \![a, b] нерівність \!f(x)<M є правильною, і ми можемо розглянути на проміжку \![a, b] скрізь додатню функцію

\!F(x)=\frac{1}{M-f(x)}.

Так як знаменник \!M-f(x) не обертається в нуль та неперервний на проміжку \![a, b], то за теоремою про неперевність частки неперервних функцій, функція \!F(x) також неперервна на проміжку \![a, b]. У цьому разі, згідно з першою теоремою Веєйрштрасса, функція \!F(x) обмежена на проміжку \![a, b], тобто знайдеться таке додатне число \!B, що для будь-якого \!x з проміжка \![a, b] справедлима нерівність:

\!F(x)=\frac{1}{M-f(x)} \le \!B.

Її можна переписати (враховуючи що \!M-f(x)>0) у такому вигляді:

\!f(x)\le M-\frac{1}{B}.

Це співвідношення правильне для будь-яких точок \!x з проміжку \![a, b]. Воно суперечить тому, що \!M є точною верхньою межею (найменшою з усіх верхніх меж) функції \!f(x) на проміжку \![a, b]. Отже, отримана суперечність доводить хибність нашого припущення.

Теорему доведено.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа, Часть 1 — М.: Наука, 1982. — 616 с., ил.