Друга теорема Вейєрштрасса

Дру́га теоре́ма Вейєрштрасса доводить досягнення неперервною функцією своїх точних меж. Вперше сформулював і довів німецький математик Карл Вейєрштрасс.

Формулювання теореми

Якщо функція $\!f(x)$ неперервна на проміжку $\![a, b]$, то вона досягає на цьому проміжку своїх точних верхньої та нижньої меж. (тобто на проміжку $\![a, b]$ знайдуться точки $\!x_1$ та $\!x_2$ такі, що $\!f(x_1)=M$, $\!f(x_2)=m$.

Доведення

Доведемо, що функція $\!f(x)$ неперервна на проміжку $\![a, b]$ досягає своєї точної верхньої межі $\!M$ (досягнення точної нижньої межі доводиться аналогічно).

Припустимо супротивне, тобто припустимо, що функція $\!f(x)$ не приймає значення точної верхньої межі у будь-якій точці проміжка $\![a, b]$. Тоді для всіх точок проміжка $\![a, b]$ нерівність $\!f(x)<M$ є правильною, і ми можемо розглянути на проміжку $\![a, b]$ скрізь додатню функцію

$\!F(x)=\frac{1}{M-f(x)}$.

Так як знаменник $\!M-f(x)$ не обертається в нуль та неперервний на проміжку $\![a, b]$, то за теоремою про неперевність частки неперервних функцій, функція $\!F(x)$ також неперервна на проміжку $\![a, b]$. У цьому разі, згідно з першою теоремою Веєйрштрасса, функція $\!F(x)$ обмежена на проміжку $\![a, b]$, тобто знайдеться таке додатнє число $\!B$, що для будь-якого $\!x$ з проміжка $\![a, b]$ справедлима нерівність:

$\!F(x)=\frac{1}{M-f(x)} \le \!B$.

Її можна переписати (враховуючи що $\!M-f(x)>0$) у такому вигляді:

$\!f(x)\le M-\frac{1}{B}$.

Це співвідношення правильне для будь-яких точок $\!x$ з проміжку $\![a, b]$. Воно суперечить тому, що $\!M$ є точною верхньою межею (найменшою з усіх верхніх меж) функції $\!f(x)$ на проміжку $\![a, b]$. Отже, отримана суперечність доводить хибність нашого припущення.

Теорему доведено.

Див. також

• Перша теорема Вейєрштрасса
• Неперервна функція
• Карл Веєрштрас

Література

• Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа, Часть 1 — М.: Наука, 1982. — 616 с., ил.