Дружні числа

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Дружніми числами називають два натуральні числа такі, що сума всіх дільників першого (за винятком самого числа) рівна другому числу, а сума всіх дільників другого числа (за винятком самого числа) рівна першому числу. Наприклад для 220 такими дільниками є числа 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 і 110 сума яких рівна 284, а для 284 дільниками є 1, 2, 4, 71, і 142 сума яких рівна 220. Отже (220,284) є парою дружніх чисел. Найменшими парами дружніх чисел є (220, 284), (1184, 1210), (2620, 2924) (5020, 5564), (6232, 6368), (10744, 10856), (12285, 14595), (17296, 18416), (63020, 76084)

Способи знаходження[ред.ред. код]

  • Правило Табіта

Якщо визначити наступні числа за формулами:

p=3\times 2^{n-1}-1,
q=3\times 2^n-1,
r=9\times 2^{2n-1}-1,

де n>1 — натуральное число, а p,\;q,\;rпрості числа, тоді 2^npq і 2^nr — є парою дружніх чисел. За цими формулами були знайдені пари чисел (220, 284), (17296, 18416) і (9363584, 9437056) відповідно для n=2,\;4,\;7, проте інші пари даного виду на цей час невідомі.

  • Правило Ейлера

Дане правило є узагальненням правила Табіта. Якщо визначити наступні числа за формулами:

p=(2^{(n-m)}+1)\times 2^{m}-1,
q=(2^{(n-m)}+1)\times 2^n-1,
r=(2^{(n-m)}+1)^2\times 2^{m+n}-1,

де m>n>1 — натуральне число, а p,\;q,\;rпрості числа, тоді 2^npq і 2^nr — є парою дружніх чисел.

  • Правило Борго

Якщо для пари дружніх чисел виду A=au і B=as числа s і p=u+s+1 є простими, причому a не ділиться на p, то для всіх тих натуральних n, для яких обидва числа q_1=(u+1)p^{n+1}-1 і q_2=(u+1)(s+1)p^n-1 прості, числа B_1=A p^n q_1 і B_2=ap^nq_2 — дружні.

Відкриті питання[ред.ред. код]

Зараз не відомі відповіді на наступні питання:

Посилання[ред.ред. код]

Див. також[ред.ред. код]