Дуальний базис

В лінійній алгебрі, дуальний базис (спряжений базис) це множина векторів, що формують базис для дуального простору векторного простору. Для векторного простору скінченної розмірності V дуальний простір V* ізоморфний до V, для будь якої даної множини базисних векторів {e₁, …, e_n} V, існує відповідний дуальний базис {e¹,…,eⁿ} V* із співвідношенням

$\mathbf{e}^i (\mathbf{e}_j) = \begin{cases} 1, & \text{if } i = j \\ 0, & \text{if } i \ne j\text{.} \end{cases}$

Іншими словами, ми можемо записувати вектори у n-вимірному векторному просторі V як n×1 колонкові матриці та елементи дуального простору V* як 1×n рядкові матриці, що діють як лінійні функціонали за допомогою добутку матриць зліва.

Наприклад, стандартний базисні R² (Декартова система координат) є наступними:

$\{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2\} = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\}$

і стандартні базисні вектори дуального простору R²* наступні

$\{\mathbf{e}_1', \mathbf{e}_2'\} = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix} \right\}\text{.}$

У 3-вимірному просторі для даного базису {e₁, e₂, e₃} можна знайти біортогональний (дуальний) базис за наступними формулами:

$e_1^*=\frac{\left[e_2;e_3\right]}{\left(e_1;e_2;e_3\right)}, e_2^*=\frac{\left[e_3;e_1\right]}{\left(e_1;e_2;e_3\right)}, e_3^*=\frac{\left[e_1;e_2\right]}{\left(e_1;e_2;e_3\right)}$