Дуальний базис

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В лінійній алгебрі, дуальний базис (спряжений базис) це множина векторів, що формують базис для спряженого простору векторного простору. Для векторного простору скінченної розмірності V дуальний простір V* ізоморфний до V, для будь якої даної множини базисних векторів {e1, …, en} V, існує відповідний дуальний базис {e1,…,en} V* із співвідношенням


\mathbf{e}^i (\mathbf{e}_j) =
\begin{cases}
  1, & \text{if } i = j \\
  0, & \text{if } i \ne j\text{.}
\end{cases}

Іншими словами, ми можемо записувати вектори у n-вимірному векторному просторі V як n×1 колонкові матриці та елементи дуального простору V* як 1×n рядкові матриці, що діють як лінійні функціонали за допомогою добутку матриць зліва.

Наприклад, стандартний базисні R2 (Декартова система координат) є наступними:


\{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2\} = \left\{
\begin{pmatrix}
  1 \\
  0 
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
  0 \\
  1 
\end{pmatrix}
\right\}

і стандартні базисні вектори дуального простору R2* наступні


\{\mathbf{e}_1', \mathbf{e}_2'\} = \left\{
\begin{pmatrix}
  1 & 0 
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
  0 & 1 
\end{pmatrix}
\right\}\text{.}

У 3-вимірному просторі для даного базису {e1, e2, e3} можна знайти біортогональний (дуальний) базис за наступними формулами:

e_1^*=\frac{\left[e_2;e_3\right]}{\left(e_1;e_2;e_3\right)}, e_2^*=\frac{\left[e_3;e_1\right]}{\left(e_1;e_2;e_3\right)}, e_3^*=\frac{\left[e_1;e_2\right]}{\left(e_1;e_2;e_3\right)}