Дуальність

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Дуа́льність (двоїстість) — принцип, що сформулюється в деяких розділах математики і полягає в тому, що кожному вірному твердженню цього розділу відповідає двоїсте твердження, яке може бути отримане з першого шляхом заміни понять, що входять до нього, на інші, так звані подвійні ним поняття.

  • Принцип дуальності формулюється в проективній геометрії на площині. При цьому дуальними поняттями є, наприклад, « точка» і «пряма», «точка лежить на прямій» і «пряма проходить через точку». Кожній аксіомі в проективної геометрії на площині формулюється дуальне твердження, яка може бути доведено за допомогою цих же аксіом (цим обгрунтовується принцип дуальності в проективній геометрії на площині). Дуальними твердженнями в проективній геометрії на площині є відомі теореми Паскаля і Бріаншона:
Теорема Паскаля стверджує, що у будь-якому шестиграннику, вписаному в лінію 2-го порядку, точки перетину протилежних сторін лежать на одній прямій.
Теорема Бріаншона стверджує, що у будь-якому шестиграннику, описаному навколо лінії 2-го порядку, прямі, що з'єднують протилежні вершини, перетинаються в одній точці.
  • Принцип дуальності в теорії множин. Нехай дано множину М. Розглянемо систему всіх її підмножин А, В, С і т. д. Справедливою є наступна пропозиція: якщо вірна теорема про підмножини множини М, що формулюється лише в термінах операцій суми, перетину та доповнення, то вірна також і теорема, яка що отримується з даної шляхом заміни операції суми і перетину відповідно операціями перетину і суми, порожньої множини Λ — всією множиною М, а множини М — порожньою множиною Λ. При цьому доповенння суми замінюється перетином додатків, а доповнення перетину — сумою доповнень.