Ділення

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
20 \div 4=5

Ді́лення (також діління́)— в математиці, бінарна операція, що обернена множенню.

Діленням має два операнди:

  • ділене — число (чи математичний об'єкт), який ділять;
  • дільник — число (чи математичний об'єкт) на який ділять.

Результат ділення називається часткою.

При діленні потрібно знайти таку частку ~x, яка при множенні на дільник ~b дала б ділене ~a.

\ x = a/b \quad \iff \quad x \cdot b = a.

Ділення чисел позначають:

Обернений елемент[ред.ред. код]

Результати обчислення
Додавання (+)
доданок + доданок = сума
Віднімання (−)
зменшуваневід'ємник = частка
Множення (×)
множник × множник = добуток
Ділення (÷)
ділене ÷ дільник = частка
Ділення з остачею (mod)
ділене mod дільник = остача
Піднесення до степеня
основа степеняпоказник степеня = степінь
Обчислення кореня (√)
коріньпідкореневий вираз = корінь
Логарифм (log)
logоснова(число) = логарифм

Ділення еквівалентне множенню на обернений елемент:

\ a/b \; = \; a \cdot \frac1{b}

Таке визначення ділення, зазвичай, застосовують для складних математичних об'єктів.

Ліве та праве ділення[ред.ред. код]

Операція множення для складних математичних об'єктів не завжди є комутативною, тому, рівняння \ ax = b та \ xa = b можуть мати різні розв'язки.

У зв'язку з цим використовуються терміни правого та лівого ділення згідно з розв'язками зазначених рівнянь чи множення зліва / справа на обернений елемент:

\ ax = b \quad \iff \quad x = a^{-1} \cdot b
\ xa = b \quad \iff \quad x = b \cdot a^{-1}

Ділення раціональних чисел[ред.ред. код]

Очевидно, що результат ділення цілого числа на ціле число не завжди буде цілим. Замкнутими відносно ділення є раціональні числа.

Для обчислення ділення раціональних чисел використовують множення на число обернене до дільника:

{p \over q} \div {r \over s} = {p \over q} \cdot {s \over r} = {ps \over qr}.

Ділення комплексних чисел[ред.ред. код]

Для того, щоб поділити комплексне число  z_1= x_1 + i y_1 \, на комплексне число  z_2 = x_2 + i y_2 \, потрібно записати частку у вигляді дробу, а потім домножити чисельник і знаменник на число спряжене до знаменника


\frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1 \cdot \bar z_2}{z_2 \cdot \bar z_2} = 
\frac{x_1 + i y_1 }{x_2 + iy_2} = \frac{(x_1 + i y_1)(x_2 - iy_2) }{(x_2 + iy_2)(x_2 - iy_2)} = 
\frac{(x_1 x_2 + y_1 y_2) + i (x_2 y_1 - x_1 y_2)}{x_2^2 + y_2^2}

Ділення матриць[ред.ред. код]

Для обчислення ділення матриць використовують домножання на матрицю обернену до дільника. А оскільки множення матриць не є комутативним, то можливе праве та ліве ділення. Якщо дільник є виродженою матрицею (тобто, для неї не існує оберненої), то можливе використання псевдооберненої матриці.

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

  • Погребиський Й. Б. Арифметика. К., 1953;