Ділення

$20 \div 4=5$

Ді́лення (також діління́)— в математиці, бінарна операція, що обернена множенню.

Діленням має два операнди:

• ділене — число (чи математичний об'єкт), який ділять;
• дільник — число (чи математичний об'єкт) на який ділять.

Результат ділення називається часткою.

При діленні потрібно знайти таку частку $~x$, яка при множенні на дільник $~b$ дала б ділене $~a$.

$\ x = a/b \quad \iff \quad x \cdot b = a.$

Ділення чисел позначають:

• двокрапкою $\ 6 : 3 = 2,$
• знаком $\ 6 \div 3 = 2,$
• косою рискою $\ 6 / 3 =2,$
• або дробом $\frac{6}{3} = 2,$ в чисельнику якого записують ділене, а в знаменник — дільник.

Обернений елемент

Ділення еквівалентне множенню на обернений елемент:

$\ a/b \; = \; a \cdot \frac1{b}$

Таке визначення ділення, зазвичай, застосовують для складних математичних об'єктів.

Ліве та праве ділення

Операція множення для складних математичних об'єктів не завжди є комутативною, тому, рівняння $\ ax = b$ та $\ xa = b$ можуть мати різні розв'язки.

У зв'язку з цим використовуються терміни правого та лівого ділення згідно з розв'язками зазначених рівнянь чи множення зліва / справа на обернений елемент:

$\ ax = b \quad \iff \quad x = a^{-1} \cdot b$

$\ xa = b \quad \iff \quad x = b \cdot a^{-1}$

Ділення раціональних чисел

Очевидно, що результат ділення цілого числа на ціле число не завжди буде цілим. Замкнутими відносно ділення є раціональні числа.

Для обчислення ділення раціональних чисел використовують множення на число обернене до дільника:

${p \over q} \div {r \over s} = {p \over q} \cdot {s \over r} = {ps \over qr}.$

Ділення комплексних чисел

Для того, щоб поділити комплексне число $z_1= x_1 + i y_1 \,$ на комплексне число $z_2 = x_2 + i y_2 \,$ потрібно записати частку у вигляді дробу, а потім домножити чисельник і знаменник на число спряжене до знаменника

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1 \cdot \bar z_2}{z_2 \cdot \bar z_2} = \frac{x_1 + i y_1 }{x_2 + iy_2} = \frac{(x_1 + i y_1)(x_2 - iy_2) }{(x_2 + iy_2)(x_2 - iy_2)} = \frac{(x_1 x_2 + y_1 y_2) + i (x_2 y_1 - x_1 y_2)}{x_2^2 + y_2^2}$

Ділення матриць

Для обчислення ділення матриць використовують домножання на матрицю обернену до дільника. А оскільки множення матриць не є комутативним, то можливе праве та ліве ділення. Якщо дільник є виродженою матрицею (тобто, для неї не існує оберненої), то можливе використання псевдооберненої матриці.

Див. також

• Ділення з остачею
• Ділення многочленів
• Додавання
• Віднімання
• Множення
• Чотири арифметичні дії

Джерела

• Погребиський Й. Б. Арифметика. К., 1953;