Евдокс Кнідський

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Евдокс Кнідський (дав.-гр. Εύδοξος, лат. Eudoxus; бл.408 до н. е. — бл. 355 до н. е.) — давньогрецький математик і астроном, народився в Кніді, на південному заході Малої Азії.

Біографія[ред.ред. код]

Евдокс вчив медицину, математику (у піфагорійця Архіта в Італії), приєднався до школи Платона в Афінах. Близько року перебував у Єгипті, вчив астрономію в Геліополі. Потім Евдокс переселився в місто Кизик на Ма рмуровому морі, заснував там свою математико-астрономічну школу, читав лекції з філософії, астрономії і метеорології.

Близько 368 р. до н. е. Евдокс разом з частиною учнів повернувся до Афін. Помер в рідному Кінді, оточений славою і повагою сучасників.

Евдокс також займався лікуванням, музикою; мав ораторські здібності.

На честь Евдокса названо кратери на Місяці і на Марсі.

Математика[ред.ред. код]

Вводячи поняття змінної величини Евдокс розглядав прямолінійні відрізки як безупинно змінювані, які з будь-яким ступенем точності можуть бути виражені за допомогою інших відрізків. Побудована Евдоксом теорія величин вважається сьогодні одним з найбільших витворів математики за всю її історію, яка стала основою для побудови теорії ірраціональних чисел Ю. Дедекінда.

Теорія пропорцій Евдокса у математиці і теоретичному природознавстві встановила діалектичний взаємозв'язок дискретного і безперервного, арифметичного атомізму і геометричної континуальності величини. Теорія пропорцій була першою фундаментальною теорією, передвісницею функціональної залежності і теорії функцій змінного.

Надалі ці теорії і методи Евдокса були розвинені Архімедом.

Евдокс отримав фундаментальні результати в різних областях математики. Наприклад, при розробці своєї астрономічної моделі він значно просунув сферичну геометрію. Однак особливо велике значення мали створені ним дві класичні теорії.

Загальна теорія відношень[ред.ред. код]

Числові системи стародавніх греків обмежувалися натуральними числами і їх відношеннями (дробами, раціональними числами). Однак ще піфагорійці виявили, що діагональ квадрата непорівнянна з його стороною, тобто відношення їх довжин не може бути представлено раціональним числом. Стало зрозуміло, що піфагорійська арифметика повинна бути якимось чином розширена з тим, щоб включати всі результати вимірювань. Це і зробив Евдокс. Його теорія дійшла до нас у викладі Евкліда (Начала, книга V).

На додаток до чисел Евдокс ввів ширше поняття геометричної величини, тобто довжини відрізка, площі або об'єму. З сучасної точки зору, число при такому підході є відношення двох однорідних величин — наприклад, досліджуваної і одиничного еталона.[1] Цей підхід знімає проблему несумірності. По суті, теорія відношень Евдокса — це геометрична модель дійсних чисел. Слід, однак, підкреслити, що Евдокс залишився вірним колишній традиції — він не розглядав таке відношення як число; через це в «Засадах» багато теорем про властивості чисел потім заново доводяться для величин[2]. Визнання іррациональностей як особливого виду чисел відбулося багато пізніше, під впливом індійських та ісламських математичних шкіл.

На початку своєї побудови Евдокс дав аксіоматику для порівняння величин. Всі однорідні величини можна порівнювати між собою, і для них визначені дві операції: відділення частини і з'єднання (взяття кратного). Однорідність величин сформульована у вигляді аксіоми, відомої також як аксіома Архімеда: «Кажуть, що величини мають відношення між собою, якщо вони, взяті кратно, можуть перевищити один одного».

Далі Евдокс розглядає відношення між величинами і визначає для них рівність[3]:

Говорят, что величины находятся в том же отношении: первая ко второй и третья к четвертой, если равнократные первой и третьей одновременно больше, или одновременно равны, или одновременно меньше равнократных второй и четвертой, каждая каждой при какой бы то ни было кратности, если взять их в соответственном порядке.

У перекладі на сучасну математичну мову це означає, що відношення a:b і c:d рівні, якщо для будь-яких натуральних m, n виконується одне з трьох співвідношень:

  • або ma < nb і mc < nd;
  • або ma = nb і mc = nd;
  • або ma > nb і mc > nd.

Фактично описане властивість означає, що між a:b и c:d нельзя вставить рациональное число.

Далі Евдокс акуратно виводить властивості відносин: транзитивність, впорядкованість і т. д.

Класична теорія Дедекинда для побудови дійсних чисел вражаюче схожа на виклад Евдокса. Відповідність між ними встановлюється так: нехай задані дві величини Евдокса a, b; дріб m/n отнесём к классу A, если ma > nb, інакше — до класу B. Тоді класи A і B визначають дедекіндово перетин поля раціональних чисел Q. Залишилось ототожнити відношення по Евдоксу b:a з цим дедекіндовим числом.

Зазначимо, однак, що у Евдокса відсутній аналог аксіоми неперервності, і нізвідки не випливає, що всякий перетин Q визначає дійсне число.

Метод вичерпання[ред.ред. код]

Докладніше: Метод вичерпання

Це свого роду античний аналіз криволінійних фігур. Обгрунтування цього методу не спирається на актуальні нескінченно малі, але неявно включає поняття границі. Назву «метод вичерпування» запропонував в 1647 році у Грегуар де Сен-Венсан, в античні часи у методу не було спеціальної назви.

Метод полягав в наступному: для знаходження площі (або об'єму) деякої фігури в цю фігуру вписувалася монотонна послідовність інших фігур і доводилося, що їх площі (обсяги) необмежено наближаються до площі (об'єму) шуканої фігури. Потім обчислювався межа послідовності площ (обсягів), для чого висувалася гіпотеза, що він дорівнює деякому A і доводилося, що зворотне призводить до протиріччя. Оскільки загальної теорії меж не було (греки уникали поняття нескінченності), всі ці кроки, включаючи обгрунтування єдиності межі, повторювалися для кожного завдання.

У такій формі метод вичерпання добре вписувався в строго дедуктивну побудову античної математики, проте мав кілька суттєвих недоліків. По-перше, він був надзвичайно громіздким. По-друге, не було ніякого загального методу для обчислення граничного значення A; Архімед, наприклад, нерідко виводив його з механічних міркувань або просто інтуїтивно вгадував. Нарешті, цей метод не придатний для знаходження площ нескінченних фігур.

За допомогою методу вичерпання Евдокс строго довів ряд вже відомих в ті роки відкриттів (площа кола, об'єм піраміди та конуса).

Найпліднішим цей метод став у руках видатного послідовника Евдокса, Архімеда, який зміг його значно удосконалити і віртуозно застосовував для багатьох нових відкриттів. В середні століття європейські математики також застосовували метод вичерпання, поки він не був витіснений спочатку більш потужним і технологічним методом неподільних, а потім - математичним аналізом.

Астрономія[ред.ред. код]

Першим зробив спробу створити теорію руху планет. Склав найдавнішу карту зоряного неба, на якій сузір'я були представлені фігурами різних тварин і героїв старогрецьких міфів, одним з перших привів на ній назви зодіакальних сузір'їв і сузір'їв, розташованих поза поясом зодіаку. Йому приписується введення в Греції календаря, що містить в році 365 ¼ доби.

Для кожної планети він ввів чотири сфери, які рівномірно обертаються. За обертанням цих сфер, він пояснював добовий рух планет, рух планет відносно екліптики, а також його відмінність у кожної з планет.Евдокс не обмежувався лише теорією. При своїй школі в Кізіку він організував обсерваторію, де його учні вели систематичне спостереження за небесними світилами. Відомо два твори, присвячені астрономії: «Явища» та «Дзеркало».

Філософія[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. Саме так визначали загальне поняття числа Ньютон та інші математики Нового часу.
  2. Башмакова И. Г., 1958, С. 309-323
  3. Euclid, 1948, Том V.

Посилання[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Узбек Костянтин Минович.. Антична математика і становлення системних підвалин філософського раціоналізму: дис... д-ра філос. наук: 09.00.09 / Інститут філософії ім. Г.С.Сковороди НАН України. — К., 2005. — 39с.
  • К.М.Узбек. "Фрагменти побудови античної науки, філософії і культури. Донецьк: Східний видавничий дім, 2010. - 234 с.
  • Гейберг И. Л. Естествознание и математика в классической древности. М,-Л.: ОНТИ, 1936.
  • Еремеева А. И., Цицин Ф. А. История астрономии. М.: Изд-во МГУ, 1989.
  • Житомирский С. В. Античная астрономия и орфизм. М.: Янус-К, 2001.
  • Житомирский С.В. Планетарная гипотеза Евдокса и древняя мифология //Астрономия древних обществ. М., 2002. C.311-314.
  • Зайцев А. И. Роль Евдокса Книдского в становлении астрономической науки в Древней Греции. // Зайцев А. И. Избранные статьи. т. 2. СПб., 2003. С.406-410.
  • Паннекук А. История астрономии, М.: Наука, 1966.
  • Fowler D. H. Eudoxus: Parapegmata and Proportionality. In: Ancient and Medieval trends in the exact sciences. Stanford: CSLI Publications, 2000, p. 33-48.
  • Goldstein B. R., Bowen A. C. A new view of early Greek astronomy, Isis, 74(273), 1983, p. 330—340.
  • Knorr W. R. Plato and Eudoxus on the planetary motions. Journal for the History of Astronomy, 21, 1990, p. 313—329.
  • Mendell H. Reflections on Eudoxus, Callippus and their Curves: Hippopedes and Callippopedes, Centaurus, 40, 1998, p. 177—275.
  • Riddel R. C. Eudoxan mathematics and the Eudoxan spheres, Archive for History of Exact Sciences, 20, 1979, p. 1-19.
  • Wright L. The astronomy of Eudoxus: geometry or physics? Stud. Hist. and Phil. Sci., 4, 1973, p. 165—172.
  • Yavetz I. On the homocentric spheres of Eudoxus, Archive for History of Exact Sciences, 52, 1998, p. 221—278.
  • Yavetz I. A new role for the hippopede of Eudoxus, Archive for History of Exact Sciences, 56, 2001, p. 69-93.