Евклідова топологія дійсної прямої

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В математиці, зокрема в загальній топології, евклідова, або природна топологія є однією з топологій, заданих на множині всіх дійсних чисел \R. Її стандартну базу складають інтервали (a,b)=\{x\in\R\mid a<x<b\}, a,b\in\R, a<b. [1]

Властивості[ред.ред. код]

  • Будь-яка замкнена в \R множина A є G_\sigma-множиною, оскільки A= \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n, де A_nокіл множини A радіусу 1/ n, n\in\N, тобто A_n=\bigcup_{x\in A} B(x,1/n) . Кожна точка, що не належить A, міститься в ε-околі, який не перетинається з A, і таким чином не перетинається з деяким A_n.
  • Набір множин S_{ab} = \{ (x,y)| x,y<b чи x,y>a \} , де a,b \in \R і a<b, є передбазою рівномірності U, породженої природною топологією на \R, але U не є звичайною метричною рівномірністю.
  • Евклідів n-вимірний простір \R^n визначається як добуток n копій \R. Топологія добутку породжується базою, яка складається з відкритих прямокутників, тобто множин, які є декартовим добутком відкритих інтервалів з кожної копії \R. Еквівалентна база складається з відкритих n-вимірних куль відносно евклідової метрики d(x,y)=( \Sigma\ (x_i-y_i)^2)^\frac{1}{2} в \R^n.

Література[ред.ред. код]

  1. Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology (Dover reprint of 1978 вид.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3