Евклідове кільце

В абстрактній алгебрі евклідове кільце — кільце, в якому існує аналог алгоритму Евкліда.

Зміст

1 Визначання
- 1.1 Примітка
2 Приклади
3 Алгоритм Евкліда
4 Властивості евклідових кілець
5 Властивості модулів над евклідовим кільцем
6 Див. також
7 Посилання

Визначання [ред.]

Евклідове кільце — область цілісності R, для якої визначена евклідова функція (евклідова норма) $d: R \to \mathbb{N} \cup \{-\infty\}$ , причому $d(a)=-\infty \Leftrightarrow a=0$ , і можливе ділення з остачею, по нормі меншою ніж дільник, тобто для будь-яких $a,b\in R,\, b\ne 0$ є представлення $a=bq+r$ , для якого $d(r)<d(b)$ .

Примітка [ред.]

Часто на евклідову норму накладають додаткове обмеження: $d(a)\le d(ab)$ для будь-яких a та ненульових b з кільця R. Якщо на R задана норма, що не задовольняє цій вимозі, її можна поправити, перевизначивши:

$d'(a) = \min\{d(ax): \, x\in R, \, x\ne 0\}$

Така норма задовольняє потрібну нерівність, однак дотеперішній алгоритм ділення з остачею також треба поправити. Нехай $x\in R$ такий, що $d'(b) = d(bx)$ . Розділимо з остачею ax на bx: $ax = bxq' + r'x$ , де $r' = a - bq'$ і $d(r'x)<d(bx)=d'(b)$ . Тому що з визначення $d'(r')\le d(r'x)$ , ми отримали представлення $a = bq' + r'$ з $d'(r')<d'(b)$ , що і вимагалось.

Тим не менш переваг від такої норми не так багато — всі оборотні елементи мають одне й те саме значення норми, при чому мінімальне з усіх (скінченних), власні дільники (що відрізняються від самого числа) елемента a мають менше значення норми, а також спрощується безпосереднє доведення факторіальності евклідових кілець (без посилання на факторіальність кілець головних ідеалів, доведення чого вимагає застосування трансфінітної індукції). Основні властивості евклідових кілець залишаються в силі і без цієї додаткової властивості.

Приклади [ред.]

Кільце цілих чисел $\Z$ . Приклад евклідової функції — абсолютна величина $|\cdot|$ .
Кільце цілих гаусових чисел Z[i] (де i — уявна одиниця, $i^2 = -1$ ) з нормою $d(a+ib) = a^2 + b^2$ — евклідове.
Довільне поле $K$ є евклідовим кільцем з нормою, що дорівнює 1 для всіх елементів, окрім 0.
Кільце многочленів від однієї змінної $K[x]$ над полем $K$ . Приклад евклідової функції — піднесення до степеня, deg.
Кільце формальних степеневих рядів $K[[x]]$ над полем K є евклідовим кільцем. Норма степеневого ряду — номер першого ненульового коефіцієнта в ньому (для нульового ряду норма дорівнює мінус нескінченності).
Узагальнюючи попередній приклад, кожне локальне кільце є евклідовим, якщо в ньому максимальний ідеал є головним і перетин всіх його степенів складається тільки з нуля. Норма оборотного елемента — 0, необоротного ненульового дорівнює максимальної степені максимального ідеалу, що містить даний елемент, а норма нуля — мінус безкінечність.
Кільце функцій H(K), голоморфних на зв'язному компакті K в C (кожна з яких має бути голоморфною в в будь-якому околі цього компакту; дві такі функції вважаються рівними в H(K), якщо вони рівні в деякому околі K), також евклідове. За норму ненульової функції приймається число нулів (з урахуванням кратності), які вона приймає на K.
Зліченний перетин евклідових кілець (підкілець в якому-небудь кільці) не зобов'язаний бути евклідовим кільцем і навіть нетеровим або факторіальним). Наприклад, кільце функцій H(D), голоморфних у відкритому колі D, є перетин евклідових кілець функцій H(K), голоморфних на замкнутих колах K, що містяться всередині D (див. попередній приклад), однак воно ані нетерове, ані факторіальне, відповідно, неевклідове.
Кільце часток S^-1R евклідового кільця R по мультиплікативній системі S також є евклідовим. Нормою дробу x з S^-1R приймається

$d_S(x) = \min\{d_R(u):\,(u,s)\in R\times S, \, x=u/s\}$ , де $d_R$ — евклідова норма в R, а $d_S$ — норма в S^-1R.

Ділення з остачею визначається так. Нехай є два ненульових дроби $x=r/t$ і $y$ з S^-1R. За визначенням норми в S^-1R існують елементи u в R і s в S, такі що $y=u/s$ і $d_S(y) = d_R(u)$ . Вчинимо ділення з остачею в кільці R елементів rs і u:
rs = uq + r', так що $d_R(r')<d_R(u)$ . Тоді $r/t = (u/s)(q/t) + r'/ts$ . З побудови випливають нерівності $d_S(r'/ts)\le d_R(r')< d_R(u) = d_S(y)$ .

Евклідовим є кільце скінченних десяткових дробів, через те, що вони є кільцем часток кільця цілих чисел $\mathbb{Z}$ .
Евклідовими є кільця раціональних функцій над полем C з фіксованими полюсами, через те, що такі кільця є кільцями часток кільця многочленів C[x].

Алгоритм Евкліда [ред.]

В евклідовому кільці здійсненний алгоритм Евкліда знаходження найбільшого спільного дільника двох чисел (елементів). Нехай початково дані два елементи a₀ і a₁, при чому $d(a_1)\le d(a_0)$ і $a_1\ne 0$ . Ділення з остачею дає елемент $a_2 = a_0 - a_1q_1$ с $d(a_2)<d(a_1)$ . Якщо він не рівний нулю, можна знов застосувати ділення з остачею, і отримати елемент $a_3 = a_1 - a_2q_2$ , і т. д. Таким чином генерується ланцюжок значень $a_0, a_1, a_2, \dots$ з $d(a_0)>d(a_1)>d(a_2)>\dots$ . Однак цей ланцюжок переривається, позаяк кожне число з $N\cup\{-\infty\}$ може строго перевищувати тільки скінченну кількість інших таких чисел. Це означає, що при деякому n остача a_n+1 дорівнює нулю, а a_n не дорівнює, вона і є НСД елементів a₀ і a₁. Відповідно, в евклідовому кільці гарантовано завершення алгоритму Евкліда. Строго кажучи, саме в евклідових кільцях і можлива реалізація алгоритму Евкліда.

Властивості евклідових кілець [ред.]

В евклідовому кільці кожний ідеал — головний (зокрема, всі евклідові кільця нетерові).
- Нехай I — довільний ідеал в евклідовому кільці. Якщо він містить лише нуль, — він головний. В протилежному випадку серед його ненульових елементів знайдеться елемент f з мінімальною нормою (принцип мінімуму для натуральних чисел). Він поділяє всі інші елементи ідеалу: Якщо g — довільний елемент ідеалу I, запишемо його у вигляді g = fq + r з d(r)<d(f). Тоді r — також елемент ідеалу I і він забов'язаний бути нулем, через те, що його норма менша ніж у f. Відповідно, ідеал I міститься в ідеалі (f). З іншого боку, кожен ідеал, що містить елемент f, містить ідеал (f). Отже, I = (f) — головний ідеал.
Кожне евклідове кільце факторіальне, тобто кожний елемент можна представити скінченним добутком простих елементів, і при цьому однозначно (з точністю до їх перестановки і множення на оборотні елементи). Факторіальність — загальна властивість усіх кілець головних ідеалів.
Кожне евклідове кільце R цілозамкнене, тобто якщо дріб $a/b,\,a,b\in R$ ,є коренем многочлена $f\in R[x]$ зі старшим коефіцієнтом, що дорівнює 1, тоді $a$ ділиться на $b$ . Цілозамкненість — загальна властивість всіх факторіальних кілець.

Властивості модулів над евклідовим кільцем [ред.]

Нехай R — евклідове кільце. Тоді скінченнопорджені R-модулі характеризуються такими властивостями:

Кожен підмодуль N скінченнопородженого R-модуля M скінченнопороджений. (наслідок нетеровості кільця R)
Ранг підмодуля N не перевищує рангу модуля M. (наслідок того, що ідеали в R головні)
Підмодуль вільного R-модуля вільний.
Гомоморфізм $A: N\to M$ скінченнопороджених R-модулів завжди зводиться до нормальної форми. Тобто існують твірні (базис, якщо модуль вільний) $u_1, u_2, \dots, u_n$ модуля N, твірні (базис) $v_1, v_2, \dots, v_m$ модуля M, номер $k\le \min\{m,n\}$ і $a_1,\dots,a_k$ — елементи кільця R, такі що $a_i$ ділить $a_{i+1}$ та при i>k $Au_i = 0$ , а при інших — $Au_i = a_iv_i$ . При цьому коефіцієнти $a_1,\dots,a_k$ визначені однозначно з точністю до множення но оборотні елементи кільця R. (Тут прямо задіяна евклідовість кільця R.)