Евклідове кільце

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В абстрактній алгебрі евклідове кільце — кільце, в якому існує аналог алгоритму Евкліда.

Визначання[ред.ред. код]

Евклідове кільцеобласть цілісності R, для якої визначена евклідова функція (евклідова норма) d: R \to \mathbb{N} \cup \{-\infty\} , причому d(a)=-\infty \Leftrightarrow a=0, і можливе ділення з остачею, по нормі меншою ніж дільник, тобто для будь-яких a,b\in R,\, b\ne 0 є представлення a=bq+r, для якого d(r)<d(b).

Примітка[ред.ред. код]

Часто на евклідову норму накладають додаткове обмеження: d(a)\le d(ab) для будь-яких a та ненульових b з кільця R. Якщо на R задана норма, що не задовольняє цій вимозі, її можна поправити, перевизначивши:

d'(a) = \min\{d(ax): \, x\in R, \, x\ne 0\}

Така норма задовольняє потрібну нерівність, однак дотеперішній алгоритм ділення з остачею також треба поправити. Нехай x\in R такий, що d'(b) = d(bx). Розділимо з остачею ax на bx: ax = bxq' + r'x, де r' = a - bq' і d(r'x)<d(bx)=d'(b). Тому що з визначення d'(r')\le d(r'x), ми отримали представлення a = bq' + r' з d'(r')<d'(b), що і вимагалось.

Тим не менш переваг від такої норми не так багато — всі оборотні елементи мають одне й те саме значення норми, при чому мінімальне з усіх (скінченних), власні дільники (що відрізняються від самого числа) елемента a мають менше значення норми, а також спрощується безпосереднє доведення факторіальності евклідових кілець (без посилання на факторіальність кілець головних ідеалів, доведення чого вимагає застосування трансфінітної індукції). Основні властивості евклідових кілець залишаються в силі і без цієї додаткової властивості.

Приклади[ред.ред. код]

  • Кільце цілих чисел \Z. Приклад евклідової функції — абсолютна величина |\cdot|.
  • Кільце цілих гаусових чисел Z[i] (де i — уявна одиниця, i^2 = -1) з нормою d(a+ib) = a^2 + b^2 — евклідове.
  • Довільне поле K є евклідовим кільцем з нормою, що дорівнює 1 для всіх елементів, окрім 0.
  • Кільце многочленів від однієї змінної K[x] над полем K. Приклад евклідової функції — піднесення до степеня, deg.
  • Кільце формальних степеневих рядів K[[x]] над полем K є евклідовим кільцем. Норма степеневого ряду — номер першого ненульового коефіцієнта в ньому (для нульового ряду норма дорівнює мінус нескінченності).
  • Узагальнюючи попередній приклад, кожне локальне кільце є евклідовим, якщо в ньому максимальний ідеал є головним і перетин всіх його степенів складається тільки з нуля. Норма оборотного елемента — 0, необоротного ненульового дорівнює максимальної степені максимального ідеалу, що містить даний елемент, а норма нуля — мінус безкінечність.
  • Кільце функцій H(K), голоморфних на зв'язному компакті K в C (кожна з яких має бути голоморфною в в будь-якому околі цього компакту; дві такі функції вважаються рівними в H(K), якщо вони рівні в деякому околі K), також евклідове. За норму ненульової функції приймається число нулів (з урахуванням кратності), які вона приймає на K.
  • Зліченний перетин евклідових кілець (підкілець в якому-небудь кільці) не зобов'язаний бути евклідовим кільцем і навіть нетеровим або факторіальним). Наприклад, кільце функцій H(D), голоморфних у відкритому колі D, є перетин евклідових кілець функцій H(K), голоморфних на замкнутих колах K, що містяться всередині D (див. попередній приклад), однак воно ані нетерове, ані факторіальне, відповідно, неевклідове.
  • Кільце часток S-1R евклідового кільця R по мультиплікативній системі S також є евклідовим. Нормою дробу x з S-1R приймається
d_S(x) = \min\{d_R(u):\,(u,s)\in R\times S, \, x=u/s\}, де d_R — евклідова норма в R, а d_S — норма в S-1R.
Ділення з остачею визначається так. Нехай є два ненульових дроби x=r/t і y з S-1R. За визначенням норми в S-1R існують елементи u в R і s в S, такі що y=u/s і d_S(y) = d_R(u) . Вчинимо ділення з остачею в кільці R елементів rs і u:
rs = uq + r', так що d_R(r')<d_R(u). Тоді r/t = (u/s)(q/t) + r'/ts. З побудови випливають нерівності d_S(r'/ts)\le d_R(r')< d_R(u) = d_S(y).
  • Евклідовим є кільце скінченних десяткових дробів, через те, що вони є кільцем часток кільця цілих чисел \mathbb{Z}.
  • Евклідовими є кільця раціональних функцій над полем C з фіксованими полюсами, через те, що такі кільця є кільцями часток кільця многочленів C[x].


Алгоритм Евкліда[ред.ред. код]

В евклідовому кільці здійсненний алгоритм Евкліда знаходження найбільшого спільного дільника двох чисел (елементів). Нехай початково дані два елементи a0 і a1, при чому d(a_1)\le d(a_0) і a_1\ne 0. Ділення з остачею дає елемент a_2 = a_0 - a_1q_1 с d(a_2)<d(a_1). Якщо він не рівний нулю, можна знов застосувати ділення з остачею, і отримати елемент a_3 = a_1 - a_2q_2, і т. д. Таким чином генерується ланцюжок значень a_0, a_1, a_2, \dots з d(a_0)>d(a_1)>d(a_2)>\dots. Однак цей ланцюжок переривається, позаяк кожне число з N\cup\{-\infty\} може строго перевищувати тільки скінченну кількість інших таких чисел. Це означає, що при деякому n остача an+1 дорівнює нулю, а an не дорівнює, вона і є НСД елементів a0 і a1. Відповідно, в евклідовому кільці гарантовано завершення алгоритму Евкліда. Строго кажучи, саме в евклідових кільцях і можлива реалізація алгоритму Евкліда.

Властивості евклідових кілець[ред.ред. код]

  • В евклідовому кільці кожний ідеал — головний (зокрема, всі евклідові кільця нетерові).
    • Нехай I — довільний ідеал в евклідовому кільці. Якщо він містить лише нуль, — він головний. В протилежному випадку серед його ненульових елементів знайдеться елемент f з мінімальною нормою (принцип мінімуму для натуральних чисел). Він поділяє всі інші елементи ідеалу: Якщо g — довільний елемент ідеалу I, запишемо його у вигляді g = fq + r з d(r)<d(f). Тоді r — також елемент ідеалу I і він забов'язаний бути нулем, через те, що його норма менша ніж у f. Відповідно, ідеал I міститься в ідеалі (f). З іншого боку, кожен ідеал, що містить елемент f, містить ідеал (f). Отже, I = (f) — головний ідеал.
  • Кожне евклідове кільце факторіальне, тобто кожний елемент можна представити скінченним добутком простих елементів, і при цьому однозначно (з точністю до їх перестановки і множення на оборотні елементи). Факторіальність — загальна властивість усіх кілець головних ідеалів.
  • Кожне евклідове кільце R цілозамкнене, тобто якщо дріб a/b,\,a,b\in R,є коренем многочлена f\in R[x] зі старшим коефіцієнтом, що дорівнює 1, тоді a ділиться на b. Цілозамкненість — загальна властивість всіх факторіальних кілець.

Властивості модулів над евклідовим кільцем[ред.ред. код]

Нехай R — евклідове кільце. Тоді скінченнопорджені R-модулі характеризуються такими властивостями:

  • Кожен підмодуль N скінченнопородженого R-модуля M скінченнопороджений. (наслідок нетеровості кільця R)
  • Ранг підмодуля N не перевищує рангу модуля M. (наслідок того, що ідеали в R головні)
  • Підмодуль вільного R-модуля вільний.
  • Гомоморфізм A: N\to M скінченнопороджених R-модулів завжди зводиться до нормальної форми. Тобто існують твірні (базис, якщо модуль вільний) u_1, u_2, \dots, u_n модуля N, твірні (базис) v_1, v_2, \dots, v_m модуля M, номер k\le \min\{m,n\} і a_1,\dots,a_k — елементи кільця R, такі що a_i ділить a_{i+1} та при i>k Au_i = 0, а при інших — Au_i = a_iv_i. При цьому коефіцієнти a_1,\dots,a_k визначені однозначно з точністю до множення но оборотні елементи кільця R. (Тут прямо задіяна евклідовість кільця R.)

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]