Ейлерові кути

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Ейлерові кути

Ейлерові кути — три кути, за допомогою яких математично описується поворот однієї системи координат відносно іншої в тривимірному просторі.

Здебільшого використовуються для математичного опису обертання абсолютно твердого тіла, при якому одна система координат - система спостерігача, а інша жорстко зв'язується з тілом.

[ред.] Визначення

На рисунку непорушна система координат позначена синіми малими літерами xyz, а рухома система координат - великими черовними XYZ.

Кут нутації β - кут між осями Z і z.
Лінія вузлів N - це лінія перетину площин xy і XY.
Кут прецесії α - кут між віссю x і лінією вузлів.
Кут власного обертання γ - кут між лінєю вузлів N і віссю X.

Замість позначень α, β, γ вживаються також ψ, θ, φ.

Кут прецесії і кут власного обертання змінюється в межах від нуля до 2π. Кут нутації - від нуля до π.

[ред.] Матриця повороту

Матриця повороту виражається через кути Ейлера наступним чином. $R = R_z(\psi)\cdot R_x(\theta) \cdot R_z(\varphi) = \left( \begin{matrix} \cos\psi\cos\varphi - \sin\psi\sin\varphi\cos\theta & -\sin\psi\cos\varphi\cos\theta -\cos\psi\sin\varphi & \sin\psi\sin\theta \\ \sin\psi\cos\varphi + \cos\psi\cos\theta\sin\varphi & \cos\psi\cos\theta\cos\phi -\sin\psi\sin\varphi & -\cos\psi\sin\theta \\ \sin\theta\sin\varphi & \cos\varphi\sin\theta & \cos\theta \end{matrix} \right)$

$\ x' = x R.$

[ред.] Кінематичні рівняння Ейлера

Компоненти вектора кутової швидкості у зв'язаній із тілом системі координат виражаються через похідні від Ейлерових кутів за допомогою формул, які називаються кінематичними рівняннями Ейлера.

$\omega_{x^\prime} = \dot{\theta} \cos \varphi + \dot{\psi}\sin\theta\sin\varphi,$