Ейлерові кути

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

{{Фізична теорія |Name = Класична механіка |- |Label =\bold{F} = \frac{d\bold{p}}{dt}
|LabelId =Другий закон Ньютона
|KeyItems = Історія класичної механіки |Topic1 = Розділи |Items1 = Статика · Кінематика · Динаміка · Небесна механіка · Механіка суцільних середовищ · Статистична механіка |Topic2 = Фундаментальні поняття |Items2 = Простір · Час · [

Ейлерові кути

Ейлерові кути — три кути, за допомогою яких математично описується поворот однієї системи координат відносно іншої в тривимірному просторі.

Здебільшого використовуються для математичного опису обертання абсолютно твердого тіла, при якому одна система координат - система спостерігача, а інша жорстко зв'язується з тілом.

Визначення[ред.ред. код]

На рисунку нерухома система координат позначена синіми малими літерами xyz, а рухома система координат - великими черовними XYZ.

  • Кут нутації β - кут між осями Z і z.
  • Лінія вузлів N - це лінія перетину площин xy і XY.
  • Кут прецесії α - кут між віссю x і лінією вузлів.
  • Кут власного обертання γ - кут між лінєю вузлів N і віссю X.

Замість позначень α, β, γ вживаються також ψ, θ, φ.

Кут прецесії і кут власного обертання змінюється в межах від нуля до 2π. Кут нутації - від нуля до π.

Матриця повороту[ред.ред. код]

Матриця повороту виражається через кути Ейлера так:  R = R_z(\psi)\cdot R_x(\theta) \cdot R_z(\varphi) = \left( \begin{matrix}
\cos\psi\cos\varphi - \sin\psi\sin\varphi\cos\theta & -\sin\psi\cos\varphi\cos\theta -\cos\psi\sin\varphi & \sin\psi\sin\theta \\
\sin\psi\cos\varphi + \cos\psi\cos\theta\sin\varphi & \cos\psi\cos\theta\cos\phi -\sin\psi\sin\varphi & -\cos\psi\sin\theta \\
\sin\theta\sin\varphi & \cos\varphi\sin\theta & \cos\theta  
\end{matrix}
\right)

\ x' = x R.

Кінематичні рівняння Ейлера[ред.ред. код]

Компоненти вектора кутової швидкості у зв'язаній із тілом системі координат виражаються через похідні від Ейлерових кутів за допомогою формул, які називаються кінематичними рівняннями Ейлера.

 \omega_{x^\prime} = \dot{\theta} \cos \varphi + \dot{\psi}\sin\theta\sin\varphi,
 \omega_{y^\prime} = - \dot{\theta} \sin\varphi +\dot{\psi}\sin\theta\cos\varphi,
 \omega_{z^\prime} = \dot{\psi} + \dot{\varphi}\cos\theta .

Джерела[ред.ред. код]

  • Єжов С. М., Макарець М. В., Романенко О. В. Класична механіка. — К.: ВПЦ "Київський університет", 2008. — 480 с.
  • Федорченко А. М. Теоретична механіка. — К.: Вища школа, 1975. — 516 с.
  • Голдстейн Г. Классическая механика. — М.: Наука, 1975. — 416 с.