Ейлерові кути

Класична механіка

$\bold{F} = \frac{d\bold{p}}{dt}$

Другий закон Ньютона

Історія класичної механіки Розділи Статика · Кінематика · Динаміка · Небесна механіка · Механіка суцільних середовищ · Статистична механіка Фундаментальні поняття Простір · Час · Система відліку · Маса · Інерція · Швидкість · Прискорення · Імпульс · Сила · Гравітація · Момент імпульсу · Момент сили · Момент інерції · Енергія · Кінетична енергія · Потенціальна енергія · Механічна робота · Потужність Основні принципи Принцип відносності · Закони збереження · Принцип д'Аламбера — Лагранжа · Принцип найменшої дії · Теорема Нетер Рівняння Рівняння Лагранжа I роду · Рівняння Лагранжа — Ейлера · Кінематичні рівняння Ейлера · Рівняння Гамільтона Важливі теми Малі коливання · Задача двох тіл · Абсолютно тверде тіло Формулювання Механіка Ньютона · Механіка Лагранжа · Механіка Гамільтона · Формалізм Гамільтона — Якобі Відомі науковці Архімед · Галілей · Ньютон · Кеплер · Ейлер · д'Аламбер · Лагранж · Лаплас · Гамільтон · Коші · Герц · Якобі

Ейлерові кути

Ейлерові кути — три кути, за допомогою яких математично описується поворот однієї системи координат відносно іншої в тривимірному просторі.

Здебільшого використовуються для математичного опису обертання абсолютно твердого тіла, при якому одна система координат - система спостерігача, а інша жорстко зв'язується з тілом.

Визначення

На рисунку непорушна система координат позначена синіми малими літерами xyz, а рухома система координат - великими черовними XYZ.

• Кут нутації β - кут між осями Z і z.
• Лінія вузлів N - це лінія перетину площин xy і XY.
• Кут прецесії α - кут між віссю x і лінією вузлів.
• Кут власного обертання γ - кут між лінєю вузлів N і віссю X.

Замість позначень α, β, γ вживаються також ψ, θ, φ.

Кут прецесії і кут власного обертання змінюється в межах від нуля до 2π. Кут нутації - від нуля до π.

Матриця повороту

Матриця повороту виражається через кути Ейлера так: $R = R_z(\psi)\cdot R_x(\theta) \cdot R_z(\varphi) = \left( \begin{matrix} \cos\psi\cos\varphi - \sin\psi\sin\varphi\cos\theta & -\sin\psi\cos\varphi\cos\theta -\cos\psi\sin\varphi & \sin\psi\sin\theta \\ \sin\psi\cos\varphi + \cos\psi\cos\theta\sin\varphi & \cos\psi\cos\theta\cos\phi -\sin\psi\sin\varphi & -\cos\psi\sin\theta \\ \sin\theta\sin\varphi & \cos\varphi\sin\theta & \cos\theta \end{matrix} \right)$

$\ x' = x R.$

Кінематичні рівняння Ейлера

Компоненти вектора кутової швидкості у зв'язаній із тілом системі координат виражаються через похідні від Ейлерових кутів за допомогою формул, які називаються кінематичними рівняннями Ейлера.

$\omega_{x^\prime} = \dot{\theta} \cos \varphi + \dot{\psi}\sin\theta\sin\varphi,$

$\omega_{y^\prime} = - \dot{\theta} \sin\varphi +\dot{\psi}\sin\theta\cos\varphi,$

$\omega_{z^\prime} = \dot{\psi} + \dot{\varphi}\cos\theta .$

Джерела

• Єжов С. М., Макарець М. В., Романенко О. В. Класична механіка. — К.: ВПЦ "Київський університет", 2008. — 480 с.
• Федорченко А. М. Теоретична механіка. — К.: Вища школа, 1975. — 516 с.
• Голдстейн Г. Классическая механика. — М.: Наука, 1975. — 416 с.