Експеримент Кавендіша

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Експериме́нт Каве́ндіша — перший експеримент, у якому була виміряна сила гравітації між масами в лабораторних умовах, а також, перша методика, яка дозволила визначити точне значення гравітаційної сталої, проведений у 1797–1798 роках англійським вченим Генрі Кавендішем[1]. З врахуванням систем мір того часу, гравітаційна стала не була вказана явно у працях Кавендіша. Замість неї було визначено середню густину Землі, що рівнозначне до визначення маси Землі. Це було перше точне обчислення цих геофізичних сталих. Для проведення експерименту Кавендіш використав результати попередніх робіт з 1783 року[2] його земляка, геолога Джона Мічелла[3], що створив обладнання під назвою «крутильні терези». Дж. Мічелл помер у 1793 році і не завершив своїх досліджень, а його обладнання перейшло до Френсіса Джона Гайд Волластона (англ. Francis John Hyde Wollaston), а потім до Генрі Кавендіша, який переробив дещо прилад, не порушуючи оригінального задуму Мічелла. Далі Кавендіш провів на обладнанні серію вимірювань, а результати опублікував у Philosophical Transactions of the Royal Society у 1798 році[4].

Експеримент[ред.ред. код]

Осьовий вертикальний розріз крутильних терезів Каведіша разом з корпусом. Більші кулі підвішені на коромислі у спосіб, що робив можливим його повертання відносно точки підвісу, змінюючи відстань до менших куль за допомогою механізму на базі шківа, з виведеним кінцем шнура на зовні (Ілюстрація 1 з документації Кавендіша)
Фрагмент рисунку, що розкриває особливості конструкції крутильних терезів: плече (m), більша куля (W), менша куля (x) і захисна оболонка (ABCDE)

Крутильні терези виконані на базі дерев'яного стрижня (коромисла) довжиною 6 футів (1,8 м) підвішеного на дроті довжиною близько 1 м з міді, покритого сріблом, на кінцях якого були закріплені свинцеві кулі діаметром 3 дюйми (51 мм) і масою 1,61 фунти (0,78 кг). Дві 12-дюймові (300 мм) свинцеві кулі масою 348 фунтів (158 кг) розташовані поблизу менших куль на відстані близько 9 дюймів (230 мм), закріплені на незалежній підвісці[5]. В експерименті вимірювалась сила взаємодії між малою і великою кулями.

Дві більші кулі розташовувались на протилежних сторонах горизонтального дерев'яного коромисла терезів. Взаємне протягування до менших куль спричиняло повертання коромисла приводячи до скручування дроту на якому воно підвішене. Коромисло поверталось на кут, при якому сила скручення дроту зрівноважувала гравітаційну силу притягання між кулями. Знаючи кут повороту і момент сили скручування у залежності від кута, Кавендіш зміг визначити силу взаємодії пари мас. Оскільки гравітаційна сила, з якою Земля діє на меншу кулю може бути виміряна безпосередньо шляхом її зважування, із співвідношення двох сил можна визначити густину Землі на основі закону всесвітнього тяжіння.

Кавендіш обчислив, що густина Землі у 5,448 ± 0,033 разів більша від густини води (через просту помилку при обчисленнях, яку зауважив Ф.Белі (F. Baily), помилкове значення, що приводиться у документах, становило 5,48 ± 0,038)[6].

Для того щоб обчислити величину крутного моменту, прикладеного до дроту для даного кута повороту, Кавендіш обчислив жорсткість при крученні через визначення періоду власних коливань крутильного маятника, виведеного із стану рівноваги. Період коливань становив близько 20 хвилин. Знаючи розмір і кут повертання коромисла можна обчислити значення крутного моменту. Насправді коромисло ніколи не було у стані спокою. Кавендіш змушений був вимірювати кут відхилення в умовах коливань[7].

Як на ті часи, обладнання Кавендіша характеризувалось досить високою чутливістю[6]. Сила від скручування, приведена до плеча коромисла була надзвичайно малою, 1,74 × 10−7 Н[8], близько 1/50000000 від ваги меншої кулі[9] або відповідала вазі піщинки[10].

Щоб зменшити похибки вимірювань спричинені повітряними потоками і зміною температури, Кавендіш помістив апаратуру у дерев'яний корпус з товщиною стінки 3 фути (0,61 м), висотою 10 футів (3 м) i шириною 10 футів (3 м), розташованому у закритому приміщенні. Спостереження коливань Кавендіш проводив через два отвори у стінах приміщення за допомогою телескопа. Коливання коромисла становили менше 0,16 дюйма (4,1 мм)[11]. Кавендіш зміг виміряти такі малі відхилення з точністю до 0,01 дюйма завдяки ноніусу на кінці плеча[12].

Reich (1838), Baily (1843), Cornu & Baille (1878) та багато інших дослідників повторювали експеримент Кавендіша. Точність експерименту не могли покращити упродовж 97 років, зробив це аж Чарльз Вемон Бойз (Charles Vernon Boys) у 1895 році. У цей період крутильні терези Мічелла були основним обладнанням для вимірювання гравітаційної сталої (G) і більшість сучасних методик є лише їх модифікаціями. З огляду на це описана методика дослідження отримала назву експеримент Кавендіша[13].

Чи Кавендіш визначив гравітаційну сталу G?[ред.ред. код]

Пройшло ще багато років, поки Закон всесвітнього тяжіння, у формулюванні якого використовується гравітаційна стала, став загальноприйнятим. Одна з перших згадок про гравітаційну сталу відноситься до 1873 року (75 років після публікацій Кавендіша)[14]. Кавендіш отримані результати подавав як результат визначення густини Землі, а свій експеримент у листуванні називав «зважуванням світу». Наступні автори уже інтерпретували його результати у сучасній формі[15][16][17] де:

G = g\frac{R_3^2}{M_3} = \frac{3g}{4\pi R_3\rho_3},

Після переходу на одиниці СІ і підстановкою густини Землі отриманої Кавендішом 5,448 г см−3 зможемо обчислити

G = 6,74 × 10−11 м³ кг−1 с−2,

що відрізняється лише на 1% від сучасного загальноприйнятого значення: 6,67384 × 10−11 м³ кг−1 с−2 [18].

З цієї причини історики науки твердять, що Кавендіш не виміряв гравітаційної сталої[19][20][21][22].

Фізики часто використовують вирази, у яких гравітаційна стала має інший вигляд. Серед астрономічних констант має застосування гравітаційна стала Гауса (k), запропонована Гаусом у праці Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientum («Теорія руху небесних тіл, які обертаються навколо Сонця по конічних кривих») від 1809 року, а експеримент Кавендіша можна розглядати як метод визначення астрономічної одиниці. У часи Кавендіша фізики використовували однакові одиниці для маси і сили тяжіння. Далі, беручи g як стандартне прискорення а R_3 було відоме, \rho_3 виконувала роль величини, оберненої до гравітаційної сталої. Через це густина Землі була величиною, пошук значення якої був досить інтенсивним у ті часи, що підтверджують також інші спроби дослідників (наприклад, Шихаліонський експеримент англ. Schiehallion experiment у 1774 році).

Часто фізики приписують Кавундішу заслугу першості визначення гравітаційної сталої[23][24][25][26][27].

Визначення G і маси Землі[ред.ред. код]

Опис умовних позначень подано у таблиці в кінці розділу.

Подана методика не відбиває методику, якою користувався Кавендіш, але показує як сучасні фізики можуть скористатись його результатами[28][29][30]. Відповідно до закону Гука, момент сили є пропорційним до кута повороту коромисла \theta.

 M = -\kappa \theta \,

де константа \kappa, що носить назву «жорсткість при крученні» і залежить від параметрів підвісу (виду матеріалу, довжини і діаметру дроту). Крім цього момент сили може бути записаний як добуток сили взаємного протягування куль і відстані точки підвісу від осі обертання. Оскільки є дві пари куль і кожна взаємодіє із силою F на відстані L/2 від осі, повний момент буде становити LF. Прирівнюючи обидва рівняння, можна записати:

\kappa\theta\ = LF \,

Сила F згідно із законом всесвітнього тяжіння І.Ньютона:

F = \frac{G m M}{r^2}\,

Підставляючи її до першого рівняння отримуємо

\kappa\theta\ = L\frac{GmM}{r^2} \qquad\qquad\qquad(1)\,

З метою визначення жорсткості підвісу при крученні (\kappa), Кавендіш виміряв період вільних коливань T системи:

T = 2\pi\sqrt{I/\kappa}

що дає

T = 2\pi\sqrt{\frac{mL^2}{2\kappa}}\,

Знаходячи з нього \kappa, після підстановки в (1) і визначення G можна отримати:

G = \frac{2 \pi^2 L r^2}{M T^2} \theta\,

Знаючи G, можна використати силу земного тяжіння для обчислення маси і густини Землі:

mg = \frac{GmM_3}{R_3^2}\,
M_3 = \frac{gR_3^2}{G}\,
\rho_3 = \frac{M_3}{4 \pi R_3^3/3} = \frac{3g}{4 \pi R_3 G}\,
Визначення позначень
\theta\, \mbox{radians}\, Відхилення коромисла від стану рівноваги
F\, \mbox{N}\, Сила гравітації між масами M і m
G\, \mbox{m}^3 {\mbox{kg}}^{-1} \mbox{s}^{-2}\, Гравітаційна стала
m\, \mbox{kg}\, Маса меншої свинцевої кулі
M\, \mbox{kg}\, Маса більшої свинцевої кулі
r\, \mbox{m}\, Відстань між центрами куль меншої і більшої коли терези мають відхил від стану рівноваги
L\, \mbox{m}\, Довжина коромисла, відстань між центрами менших куль
\kappa\, \mbox{N}\,\mbox{m}\,\mbox{radian}^{-1}\, Жорсткість при крученні дроту підвісу коромисла
I\, \mbox{kg}\,\mbox{m}^2\, Крутний момент коромисла терезів
T\, \mbox{s}\, Період коливань торсіонного маятника
g\, \mbox{m}\,\mbox{s}^{-2}\, Прискорення вільного падіння на поверхні Землі
M_3\, \mbox{kg}\, Маса Землі
R_3\, \mbox{m}\, Радіус Землі
\rho_3\, \mbox{kg}\,\mbox{m}^{-3}\, Густина Землі

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. Boys 1894 s.355
  2. McCormmach & Jungnickel 1996, s.336: У листі від 1783 Каведіша до Джона Мічелла можна прочитати «…колишня згадка про зважування світу». Не зрозуміло чи «колишня згадка» стосується Кавендіша чи Мічелла.
  3. Cavendish 1798, s.59 Кавендіш віддає Мічеллу усі заслуги у розробці експерименту
  4. Cavendish H. Experiments to determine the Density of the Earth, Philosophical Transactions of the Royal Society of London, (part II) 88 s.469-526 (21 June 1798), перевидано Cavendish 1798
  5. Cavendish 1798, s.59
  6. а б Poynting 1894, s.45
  7. Cavendish 1798, s.64
  8. Boys 1894 P.357
  9. Cavendish 1798 P.60
  10. Піщинка з грануляцією 2 мм має вагу ~13 мГс. Theodoris Marina Mass of a Grain of Sand. The Physics Factbook. 2003 (англ.)
  11. Cavendish 1798, P.99, Таблиця результатів, (поділка шкали = 1/20" ≈ 1,3 мм). Повне відхилення при дослідженнях було у двічі більшим, однак це відхилення спричинялось двома кулями на протилежних плечах коромисла терезів.
  12. Cavendish 1798, P.63
  13. McCormmach & Jungnickel 1996, P.341
  14. Cornu A., Baille, J. B. Mutual determination of the constant of attraction and the mean density of the earth. C. R. Acad. Sci., Paris, 1873.- Vol. 76, P. 954–958.
  15. Boys 1894, P.330 У цій доповіді, Бойз (Boys) вводить сталу G і аргументує її використання
  16. Poynting 1894, P.4
  17. MacKenzie 1900, P.VI
  18. Newtonian constant of gravitation.
  19. Clotfelter 1987
  20. McCormmach & Jungnickel 1996, P.337
  21. Hodges 1999
  22. Lally 1999
  23. David Halliday, Robert Resnick Fundamentals of Physics. John Wiley & Sons, 1993, p. 418. ISBN 9780471147312. (англ.) «Обладнання з 1798 року завдяки якому Генрі Кавендіш виміряв гравітаційну сталу»
  24. Richard P. Feynman Lectures on Physics, Vol.1. , P. 6-7, 1963. Addison-Wesley (англ.). «Кавендіш стверджував, що звазив Землю, хоча він насправді виміряв коефіцієнт G…»
  25. Richard P. The Character of Physical Law. , P. 28, 1967. MIT Press (англ.). «Кавендіш отримав можливість виміряти силу, дві маси і відстань, а на основі цього описати гравітаційну сталу G»
  26. Cavendish Experiment, Harvard Lecture Demonstrations, Harvard Univ (англ.). «[крутильні терези були]…модернізовані Кавендішем для вимірювання G.»
  27. Jonathan Shectman Groundbreaking Experiments, Inventions, and Discoveries of the 18th Century. Greenwood, 2003, s. xlvii. ISBN 9780313320156. (англ.). «Кавендіш обчислює гравітаційну сталу, що дало можливість визначити масу Землі...»
  28. Експеримент Кавендіша, демонстраційні викладки, Гарварський університет
  29. Poynting 1894, P.41
  30. Clotfelter 1987 P.212 описує оригінальну методику обчислень Кавендіша

Джерела[ред.ред. код]

  • Boys C. Vernon. On the Newtonian constant of gravitation. / «Nature». 50 (1292), С. 330–334, 1894. doi:10.1038/050330a0. Bibcode: 1894Natur..50..330. (англ.).
  • Cavendish Henry (1798). Experiments to Determine the Density of the Earth. In MacKenzie, A. S. Scientific Memoirs Vol.9: The Laws of Gravitation. American Book Co. 1900. C. 59-105 Копія оригінальних праць Кавендіша з 1798 року, та інші ранні дослідження, що стосуються визначення гравітаційної сталої.
  • B. E. Clotfelter The Cavendish experiment as Cavendish knew it. / American Journal of Physics. 1987, 55 (3). С. 210–213. doi:10.1119/1.15214. Bibcode: 1987AmJPh..55..210C (англ.). Стверджується, що Кавендіш не визначив гравітаційної сталої.
  • Falconer Isobel Henry Cavendish: the man and the measurement / Measurement Science and Technology 1999, 10 (6): С. 470–477. Bibcode 1999MeScT..10..470F. doi:10.1088/0957-0233/10/6/310 (англ.).
  • «Gravitation Constant and Mean Density of the Earth» / Encyclopædia Britannica, 11th Ed.. 12. The Encyclopædia Britannica Co.. 1910. С. 385–389. (англ.).
  • Hodges Laurent The Michell-Cavendish Experiment, Department of Physics and Astronomy, Iowa State University, Ames, IA. 1998. (англ.).
  • Sean P. Lally Henry Cavendish and the Density of the Earth. / The Physics Teacher. 37 (1), С. 34-37, 1999. doi:10.1119/1.880145. Bibcode: 1999PhTea..37…34L (англ.).
  • Russell McCormmach, Christa Jungnickel Cavendish. — Philadelphia, Pennsylvania: American Philosophical Society, 1996. — 414 c. ISBN 0-87169-220-1. (англ.).
  • John H. Poynting The Mean Density of the Earth . — London: C. Griffin & Co., 1894. — 156 с (англ.).