Екстремум

Екстремум — найбільше та найменше значення функції на заданій множині.

Розрізняють:

• локальний — екстремум в деякому довільно малому околі даної точки
• глобальний — екстремум в усій розглядуваній області значень функцій

Визначення

Точка $x_{0} \in D$ називається точкою локального мінімуму (максимуму) функції $f: D->R$, якщо $\exists U_{D}(x_{0}): \forall x \in U_{D}(x_{0})~f(x) \ge f(x_{0})$ (для точки мінімуму), або $f(x) \le f(x_{0})$ (для точки максимуму). Якщо знак нерівності строгий, то отримаємо строгий локальний мінімум (максимум).

Теорема Ферма

Нехай $x_{0}$ — точка екстремуму функції $f:D->R$. Якщо $x_{0}$ — внутрішня точка для D і $f(x)$ — диференційована в точці $x_{0}~(\exists f'(x_{0}))$, то $f'(x_{0}) = 0$.

Теорема Ролля

Якщо $f:[a;b]->R$ неперервна на [a;b], диференційована на (a;b) і $f(a)=f(b)$, то $\exists \xi \in (a;b):~f'(\xi) = 0$

Див. також

• Задача оптимізації
• Похідна функції
• Умовний екстремум

Джерела інформації

• Мала гірнича енциклопедія. В 3-х т. / За ред. В. С. Білецького. — Донецьк: Донбас, 2004. — ISBN 966-7804-14-3.