Електромагнітний потенціал

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Електромагнітний 4-потенціал — це контраваріантний 4-вектор, часовою компонентою якого є скалярний потенціал \ \varphi , а просторовою - векторний потенціал \ \mathbf A (всі формули на цій сторінці дані у системі СГС). Таким чином,

\ A^{\alpha} = (\varphi , \mathbf A).

Введення компонент 4-потенціалу і отримання рівнянь на них[ред.ред. код]

Рівняння Максвелла

\ (\nabla \cdot \mathbf B )

можна тотожньо задовольнити, якщо ввести векторний потенціал \ \mathbf A як

\ \mathbf B = [\nabla \times \mathbf A ].

Підставивши цей вираз для \ \mathbf B у рівняння для ротора напруженості електричного поля, можна отримати

\ \mathbf B = [\nabla \times \mathbf A] \Rightarrow [\nabla \times \mathbf E ] + \frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf B}{\partial t} = \left[ \nabla \times \left( \mathbf E + \frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf A}{\partial t }\right)\right] = 0 \Rightarrow \mathbf E = -\nabla \varphi - \frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf A}{\partial t} \qquad (.1),

де введений скалярний потенціал \ \varphi . Тепер можна переписати вираз для сили, що діє на заряд, що рухається, у електромагнітному полі, за допомогою виразів, отриманих для потенціалів:

\ \mathbf F = q\mathbf E + \frac{q}{c}[\mathbf v \times \mathbf B ] = -q\nabla \varphi - \frac{q}{c}\frac{\partial \mathbf A}{\partial t} + \frac{q}{c}[\mathbf v \times [\nabla \times \mathbf A ]].

Використовуючи, знову ж таки, векторний потенціал і \ (.1), можна переписати також рівняння для ротора індукції магнітного поля і для дивергенції напруженості електричного поля:

\ [\nabla \times \mathbf B ] = [\nabla \times [\nabla \times \mathbf A ]] = \nabla (\nabla \cdot \mathbf A ) - \Delta \mathbf A = \frac{4 \pi}{c} \mathbf j + \frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\left( -\nabla \varphi - \frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf A}{\partial t}\right) \Rightarrow

\ \Rightarrow \left( \frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} - \Delta \right)\mathbf A + \nabla \left( \frac{1}{c}\frac{\partial \varphi}{\partial t} + (\nabla \cdot \mathbf A ) \right) = \square \mathbf A + \nabla \left(\frac{1}{c}\frac{\partial \varphi}{\partial t} + (\nabla \cdot \mathbf A ) \right) = \frac{4 \pi}{c} \mathbf j \qquad (.2),

\ (\nabla \cdot \mathbf E ) = -\Delta \varphi - \frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \cdot \mathbf A ) = \left(\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2} }{\partial t^{2}} - \Delta \right)\varphi - \frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\left(\frac{1}{c}\frac{\partial \varphi}{\partial t} + (\nabla \cdot \mathbf A )\right) = \square \varphi - \frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\left(\frac{1}{c}\frac{\partial \varphi}{\partial t} + (\nabla \cdot \mathbf A )\right) = 4 \pi \rho \qquad (.3).

Якщо задовольнити умову

\ \frac{1}{c}\frac{\partial \varphi}{\partial t} + (\nabla \cdot \mathbf A )  = 0

(умова калібрування Лоренца), то вирази набудуть більш простого вигляду:

\ \square \mathbf A = 4 \pi \mathbf j, \quad \square \varphi = 4 \pi \rho \qquad (.4).

Такі рівняння називаються рівняннями д'Аламбера.

Компоненти потенціалу як єдиний 4-вектор[ред.ред. код]

Ідентичність двох рівнянь з \ (.4) дозволяє припустити, що і в лівій, і в правій частині знаходяться компоненти двох 4-векторів: \ A^{\alpha} = (\varphi , \mathbf A ), \quad \mathbf j^{\alpha} = (c\rho , \mathbf j ). Тоді рівняння \ (.4) можуть бути записані як одне:

\ \square A^{\alpha} = 4 \pi j^{\alpha} ,

причому перетворення Лоренца для компонент можуть бути записані як

\ \mathbf \varphi ' = \gamma \left( \varphi - \frac{(\mathbf u \cdot \mathbf A )}{c}\right), \quad \mathbf A' = \mathbf A + \Gamma \frac{\mathbf u}{c^{2}}(\mathbf A \cdot \mathbf u ) - \frac{\gamma}{c} \mathbf u \mathbf \varphi.

Для доведення цього достатньо показати, що векторний і скалярний потенціали перетворюються як компоненти 4-вектора.

Розв'язок рівнянь д'Аламбера для компонент потенціалу[ред.ред. код]

Отримані рівняння д'Аламбера можна розв'язати із наступних міркувань.

Загальний розв'язок рівнянь Пуассона для \ \mathbf A , \varphi дається інтегралами

\ \mathbf A = \int \frac{\mathbf j (\mathbf r )d^{3}\mathbf r}{|\mathbf x - \mathbf r|}, \quad \varphi = \int \frac{\rho (\mathbf r )d^{3}\mathbf r}{|\mathbf x - \mathbf r|}.

У неоднорідному нестаціонарному випадку густина заряду і струму увесь час змінюється, причому інформація про це досягає спостерігача лише за час \ t = \frac{|\mathbf x - \mathbf r|}{c}. Оскільки, окрім того, у рівнянні д'Аламбера присутня похідна по часу, то природньо, що розв'язок цього рівняння для скалярного потенціалу і для кожної компоненти векторного потенціалу залежить не тільки від \ \mathbf r, а й від \ t = \tau - \frac{|\mathbf x - \mathbf r|}{c}, що виражає час запізнення: \ \rho = \rho \left(\mathbf r , t - \frac{|\mathbf x - \mathbf r |}{c}\right). Тоді можна допустити, що розв'язком рівняння д'Аламбера є той же інтеграл Пуассона, проте тепер густина є функцією і від часу. Наприклад, для \ \rho:

\ \varphi = \varphi_{0} + \int \frac{\rho \left(\mathbf r , \tau - \frac{|\mathbf x - \mathbf r |}{c} \right) d^{3}\mathbf r}{|\mathbf x - \mathbf r|},

де \ \varphi_{0} - функція, що задовільняє хвильовому рівнянню.

Див. також[ред.ред. код]