Елементарні перетворення матриці

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Елементарні перетворення матриці — перетворення матриці, в результаті яких зберігається еквівалентність матриць. Таким чином, елементарні перетворення не змінюють множину розв'язків системи лінійних алгебраїчних рівнянь, яку представляє ця матриця.

Означення елементарних перетворень матриці[ред.ред. код]

Нехай задана матриця А, що складається з m рядків та n стовпців:

 A=
\begin{pmatrix}
 a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
 a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} 
\end{pmatrix}


елементарними перетвореннями називаються такі перетворення:

  • множення рядка (стовпця) матриці на число.
  • додавання до рядка (стовпця) інший рядок (стовпець), домножений на довільне число.

Дані перетворення також називаються елементарними перетвореннями рядків. Аналогічно визначаються елементарні перетворення стовпців.

Приклад[ред.ред. код]

  • Якщо i-ий рядок матриці A домножити на число α, то А буде виглядати так:
 A=
\begin{pmatrix}
 a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
 a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 \alpha * a_{i1} & \alpha * a_{i2} & \cdots & \alpha * a_{in} \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} 
\end{pmatrix}


  • Якщо до i-го рядка матриці додати k-ий рядок(домножений на число α), то A буде виглядати так:
 A=
\begin{pmatrix}
 a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
 a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 a_{i1}+ \alpha * a_{k1} & a_{i2}+ \alpha * a_{k2} & \cdots & a_{in}+ \alpha * a_{kn} \\
 a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} 
\end{pmatrix}


Елементарні матриці[ред.ред. код]

Елементарні перетворення матриці можна одержати домноженням зліва на елементарні матриці, що відрізняються від одиничної лише одним елементом. Так матриця, що відповідає множенню i-го рядка на \alpha\, має вигляд:

T_i(\alpha) = \begin{bmatrix} 1 & & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & 1 & & & & \\ & & & \alpha & & & \\ & & & & 1 & & \\ & & & & & \ddots & \\ & & & & & & 1\end{bmatrix}\quad

Матриця, що відповідає додаванню до i-го рядка матриці j-го рядка домноженого на число \alpha\, має вигляд:

T_{i,j}(\alpha) = \begin{bmatrix} 1 & & & & & & & \\ & \ddots & & & & & & \\ & & 1 & & & & & \\ & & & \ddots & & & & \\ & & \alpha & & 1 & & \\ & & & & & & \ddots & \\ & & & & & & & 1\end{bmatrix}

Література[ред.ред. код]

  • Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учебник для вузов. — 6-е изд., стер. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 280 с.