Еліптична функція

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

У комплексному аналізі еліптична функціямероморфна періодична в двох напрямах функція, задана на комплексній площині. Еліптичні функції можна розглядати як аналоги тригонометричних (що мають тільки один період). Історично, еліптичні функції були відкриті як функції, обернені до еліптичних інтегралів.

Визначення[ред.ред. код]

Еліптичною функцією називають таку мероморфну функцію f, визначену на області \C, для якої існують два ненульові комплексні числа a і b, таких що:

f(z + a) = f(z + b) = f(z), \forall z \in \C

а також частка \frac{a}{b} не є дійсним числом.

З цього виходить, що для будь-яких цілих m і n:

f(z + ma + nb) = f(z) \forall z \in \C.

Будь-яке комплексне число \omega, таке що

f(z + \omega) = f(z) \forall z \in \C,

називають періодом функції f. Якщо еліптична функція f(z) не рівна константі, то усі її періоди утворюють адитивну дискретну підгрупу комплексних чисел:

Дійсно якщо \omega_1 і \omega_2 два періоди еліптичної функції то -\omega_1, \omega_1 + \omega_2, 0\, теж є періодами, отже періоди утворюють адитивну групу. Щоб довести, що дана група є дискретною достатньо знайти константу C > 0 таку, що єдиним періодом, що задовольняє нерівність |\omega| < C\, є \omega = 0\,. Нехай z_0 \in \mathbb{C} — деяка неособлива точка. Тоді в деякому околі цієї точки функція f(z) рівна сумі свого ряду Тейлора:
f(z) = c_0 + c_1(z-z_0)+ c_2(z-z_0)^2+ \ldots
В достатньо малому околі ця сума домінується першим ненульовим членом, тож для деякої константи C > 0 маємо:
0 < |z - z_0| < C \Longrightarrow f(z) \neq c_0
що й доводить твердження.

Усі дискретні адитивні підгрупи комплексних чисел ізоморфні \mathbb Z або \mathbb Z \oplus \mathbb Z. Еліптичним функціям відповідає другий випадок. Такі групи називаються ґратками. Відповідно для кожної еліптичної функції не рівної константі існують фундаментальні періоди, тобто періоди a і b такі, що будь-який період \omega може бути записано як:

\omega = ma + nb\,.

Дана пара не є єдиною. Якщо a і b — фундаментальні періоди, що визначають деяку ґратку, то таку ж ґратку визначають і фундаментальні періоди d' і c' де d' = p a + q b і c' = r a + s b де p, q, r і s — цілі числа, що задовольняють рівність p sq r = 1. Тобто детермінант матриці:

\begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix}
рівний одиниці.

Паралелограм: \{\mu a+\lambda b \mid 0\leq\mu,\lambda\leq 1\} називається фундаментальним паралелограмом. На даному паралелограмі еліптична функція набуває всіх своїх значень.

Властивості[ред.ред. код]

  • Будь-яка еліптична функція має скінченну кількість полюсів в межах фундаментального паралелограма.
Дане твердження випливає з того, що за означенням усі особливі точки цієї функції є ізольованими. Відповідно множина полюсів не має граничної точки, оскільки в усіх точках крім полюсів функція є неперервною. Оскільки фундаментальний паралелограм є компактною множиною з теореми Больцано-Вейєрштраса випливає, що множина полюсів є скінченною.
  • Еліптична функція, що не має жодного полюсу рівна константі:
Якщо еліптична функція f(z) не має полюсів то вона неперервна в усій множині \mathbb{C}. Оскільки фундаментальний паралелограм є компактною множиною, то для всіх його точок виконується нерівність |f(z)| \leq M для деякого дійсного числа M. Зважаючи на періодичність дана нерівність виконуватиметься в усій комплексній площині. Отже f(z) — обмежена, аналітична функція і згідно з теоремою Ліувіля вона рівна константі.
  • Якщо еліптична функція f(z) не має полюсів на межі паралелограма \alpha+\Pi, то сума лишків f(z) у всіх полюсах, що знаходяться всередині \alpha+\Pi рівна нулю. (Друга теорема Ліувілля)
  • Будь-яка еліптична функція з періодами a і b може бути представлена у вигляді

f(z)=h(\wp (z))+g(\wp (z)){\wp}'(z)

Де h, g — раціональні функції, \wp(z)функція Вейєрштрасса з тими ж періодами що і у f(z). Якщо при цьому f(z) є парною функцією, то її можна представити у вигляді f(z)=h(\wp (z)), де h раціональна.

  • Множина еліптичних функцій з однаковими періодами утворює поле.
  • Похідна еліптичної функції теж є еліптичною функцією з тими ж періодами.

Література[ред.ред. код]

  • «Эллиптические кривые», Э. Кнэпп, Москва, издательство «Факториал Пресс», 2004 год. §6.2 Эллиптические функции.
  • «Введение в теорию функций комплексного переменного», И. И. Привалов, Москва, Государственное издание физико-математической литературы, 1960 год. Глава 11.