Еліптичні функції Вейєрштрасса

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Еліптичні функції Вейєрштрасса — одні з найпростіших еліптичних функцій. Цей клас функцій названий на честь Карла Вейєрштрасса. Також їх називають \wp-функціями Вейєрштрасса, і використовують для їх позначення символ \wp (стилізоване P).

Визначення[ред.ред. код]

Нехай задана деяка ґратка \Gamma в \C. Тоді \wp-функцією Вейєрштрасса на ній називається мероморфна функція, задана як сума ряду


\wp_E(z)=\frac{1}{z^2} + \sum_{w\in\Gamma\setminus\{0\}} \left(\frac{1}{(z-w)^2} - \frac{1}{w^2} \right).

Можна побачити, що така функція буде \Gamma-періодичною на \C, і тому є мероморфною функцією на E.

Ряд, що задає функцію Вейерштрасса є, в певному значенні, «регуляризованою версією» розбіжного ряду, \sum_{w\in\Gamma} \frac{1}{(z-w)^2} — «наївної» спроби задати \Gamma-періодичну функцію. Цей ряд є абсолютно розбіжним (а за відсутності природного порядку на \Gamma має сенс говорити тільки про абсолютну збіжність) при всіх z, оскільки при фіксованому z і при великих w модулі його членів поводяться як \frac{1}{|w|^2}, а сума \sum_{w\in\Gamma} \frac{1}{|w|^2} по двовимірних ґратках \Gamma є розбіжною.

Варіанти визначення[ред.ред. код]

Задаючи ґратку \Gamma її базисом \Gamma=\{m \omega_1 + n \omega_2 \mid m,n\in \Z\}, можна записати


\wp(z;\omega_1,\omega_2)=\frac{1}{z^2} + \sum_{(m,n)\in\Z^2\setminus\{(0,0)\}} \left(\frac{1}{(z-m\omega_1-n\omega_2)^2} - \frac{1}{(m\omega_1+n\omega_2)^2} \right).

Також, оскільки функція Вейерштрасса як функція трьох змінних однорідна \wp(az;a\omega_1,a\omega_2)=a^{-2}wp(z;\omega_1,\omega_2), позначивши \tau=\omega_2/\omega_1, має місце рівність:

\wp(z;\omega_1,\omega_2)=\omega_1^{-2} \wp(z/\omega_1;1,\tau).

Тому розглядають


\wp(z;\tau)=\wp(z;1,\tau)=\frac{1}{z^2} + \sum_{(m,n)\in\Z^2\setminus\{(0,0)\}} \left(\frac{1}{(z-m-n\tau)^2} - \frac{1}{(m+n\tau)^2} \right).

Властивості[ред.ред. код]

  • Функція Вейєрштрасса \wp_E:E\mapsto \widehat{\C}парна мероморфна функція, з єдиним полюсом другого порядку в точці 0.
  • Скориставшись розкладом \frac{1}{(w-z)^2}=\frac{1}{w^2} +\sum\nolimits_{j=1}^{\infty} \frac{j+1}{w^{j+2}} z^j і посумувавши по w\in \Gamma\setminus \{0\}, можна одержати розклад в точці z=0 функції Вейєрштрасса в ряд Лорана:


\wp_E(z)=\frac{1}{z^2} + \sum_{k=2}^{\infty} (2k+1) G_{2k}(\Gamma) z^{2k-2},
де G_{2k}(\Gamma)=\sum_{w\in\Gamma\setminus \{0\}} w^{-2k}  — ряди Ейзенштейна для ґратки \Gamma (відповідні непарні суми рівні нулю).

Проте, коефіцієнти при z^2 і z^4 часто записують в іншій, традиційній формі:


\wp_E(z)=\frac{1}{z^2} + \frac{1}{20}g_2(\Gamma) z^2 + \frac{1}{28}g_3(\Gamma) z^4 + \dots,

де g_2 і g_3модулярні інваріанти ґратки \Gamma:


g_2(\Gamma)=60G_4(\Gamma), \quad g_3(\Gamma)=140G_6(\Gamma).

Диференціальні і інтегральні рівняння[ред.ред. код]

Диференціальні рівняння[ред.ред. код]

З визначеними раніше позначеннями, ℘ функція задовольняє наступне диференціальне рівняння:


[\wp'(z)]^2=4[\wp(z)]^3-g_2\wp(z)-g_3,.

Інтегральні рівняння[ред.ред. код]

Еліптичні функції Вейєрштрасса можуть бути подані через обертання еліптичних інтегралів. Нехай

u = \int_y^\infty \frac {ds} {\sqrt{4s^3 - g_2s -g_3}}.

де g2 і g3 приймаються константами. Тоді

y=\wp(u).

Додаткові властивості[ред.ред. код]

Для еліптичних функцій Вейєрштрасса виконується:


\det\begin{bmatrix}
\wp(z) & \wp'(z) & 1\\
\wp(y) & \wp'(y) & 1\\
\wp(z+y) & -\wp'(z+y) & 1
\end{bmatrix}=0

(або в більш симетричній формі


\det\begin{bmatrix}
\wp(u) & \wp'(u) & 1\\
\wp(v) & \wp'(v) & 1\\
\wp(w) & \wp'(w) & 1
\end{bmatrix}=0

де u+v+w=0).

Також


\wp(z+y)=\frac{1}{4}
\left\{
\frac{\wp'(z)-\wp'(y)}{\wp(z)-\wp(y)}
\right\}^2
-\wp(z)-\wp(y).

і


\wp(2z)=
\frac{1}{4}\left\{
\frac{\wp''(z)}{\wp'(z)}\right\}^2-2\wp(z),

якщо 2z не є періодом.

Вираження довільних еліптичних функцій через функції Вейєрштрасса[ред.ред. код]

Будь-яка еліптична функція з періодами a і b може бути представлена у вигляді f(z)=h(\wp (z))+g(\wp (z)){\wp}'(z) де h, gраціональні функції, \wp(z) — функція Вейєрштрасса з тими ж періодами що і у f(z). Якщо при цьому f(z) є парною функцією, то її можна представити у вигляді f(z)=h(\wp (z)), де h раціональна. Іншими словами поле еліптичних функцій з фундаментальними періодами a і b є скінченним розширенням поля \C комплексних чисел, з породжуючими елементами \wp (z) і {\wp}'(z).

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  1. K. Chandrasekharan, Elliptic functions (1980), Springer-Verlag ISBN 0-387-15295-4
  2. Serge Lang, Elliptic Functions (1973), Addison-Wesley, ISBN 0-201-04162-6