Еліптичні функції Вейєрштрасса

Еліптичні функції Вейєрштрасса — одні з найпростіших еліптичних функцій. Цей клас функцій названий на честь Карла Вейєрштрасса. Також їх називають $\wp$-функціями Вейєрштрасса, і використовують для їх позначення символ $\wp$ (стилізоване P).

Визначення

Нехай задана деяка ґратка $\Gamma$ в $\C$. Тоді $\wp$-функцією Вейєрштрасса на ній називається мероморфна функція, задана як сума ряду

$\wp_E(z)=\frac{1}{z^2} + \sum_{w\in\Gamma\setminus\{0\}} \left(\frac{1}{(z-w)^2} - \frac{1}{w^2} \right).$

Можна побачити, що така функція буде $\Gamma$-періодичною на $\C$, і тому є мероморфною функцією на $E$.

Ряд, що задає функцію Вейерштрасса є, в певному значенні, «регуляризованою версією» розбіжного ряду, $\sum_{w\in\Gamma} \frac{1}{(z-w)^2}$ — «наївної» спроби задати $\Gamma$-періодичну функцію. Цей ряд є абсолютно розбіжним (а за відсутності природного порядку на $\Gamma$ має сенс говорити тільки про абсолютну збіжність) при всіх z, оскільки при фіксованому z і при великих w модулі його членів поводяться як $\frac{1}{|w|^2}$, а сума $\sum_{w\in\Gamma} \frac{1}{|w|^2}$ по двовимірних ґратках $\Gamma$ є розбіжною.

Варіанти визначення

Задаючи ґратку $\Gamma$ її базисом $\Gamma=\{m \omega_1 + n \omega_2 \mid m,n\in \Z\}$, можна записати

$\wp(z;\omega_1,\omega_2)=\frac{1}{z^2} + \sum_{(m,n)\in\Z^2\setminus\{(0,0)\}} \left(\frac{1}{(z-m\omega_1-n\omega_2)^2} - \frac{1}{(m\omega_1+n\omega_2)^2} \right).$

Також, оскільки функція Вейерштрасса як функція трьох змінних однорідна $\wp(az;a\omega_1,a\omega_2)=a^{-2}wp(z;\omega_1,\omega_2)$, позначивши $\tau=\omega_2/\omega_1$, має місце рівність:

$\wp(z;\omega_1,\omega_2)=\omega_1^{-2} \wp(z/\omega_1;1,\tau).$

Тому розглядають

$\wp(z;\tau)=\wp(z;1,\tau)=\frac{1}{z^2} + \sum_{(m,n)\in\Z^2\setminus\{(0,0)\}} \left(\frac{1}{(z-m-n\tau)^2} - \frac{1}{(m+n\tau)^2} \right).$

Властивості

• Функція Вейєрштрасса $\wp_E:E\mapsto \widehat{\C}$ — парна мероморфна функція, з єдиним полюсом другого порядку в точці 0.
• Скориставшись розкладом $\frac{1}{(w-z)^2}=\frac{1}{w^2} +\sum\nolimits_{j=1}^{\infty} \frac{j+1}{w^{j+2}} z^j$ і посумувавши по $w\in \Gamma\setminus \{0\}$, можна одержати розклад в точці $z=0$ функції Вейєрштрасса в ряд Лорана:

$\wp_E(z)=\frac{1}{z^2} + \sum_{k=2}^{\infty} (2k+1) G_{2k}(\Gamma) z^{2k-2},$ де $G_{2k}(\Gamma)=\sum_{w\in\Gamma\setminus \{0\}} w^{-2k}$  — ряди Ейзенштейна для ґратки $\Gamma$ (відповідні непарні суми рівні нулю).

Проте, коефіцієнти при $z^2$ і $z^4$ часто записують в іншій, традиційній формі:

$\wp_E(z)=\frac{1}{z^2} + \frac{1}{20}g_2(\Gamma) z^2 + \frac{1}{28}g_3(\Gamma) z^4 + \dots,$

де $g_2$ і $g_3$ — модулярні інваріанти ґратки $\Gamma$:

$g_2(\Gamma)=60G_4(\Gamma), \quad g_3(\Gamma)=140G_6(\Gamma).$

Диференціальні і інтегральні рівняння

Диференціальні рівняння

З визначеними раніше позначеннями, ℘ функція задовольняє наступне диференціальне рівняння:

$[\wp'(z)]^2=4[\wp(z)]^3-g_2\wp(z)-g_3,$.

Інтегральні рівняння

Еліптичні функції Вейєрштрасса можуть бути подані через обертання еліптичних інтегралів. Нехай

$u = \int_y^\infty \frac {ds} {\sqrt{4s^3 - g_2s -g_3}}.$

де g₂ і g₃ приймаються константами. Тоді

$y=\wp(u).$

Додаткові властивості

Для еліптичних функцій Вейєрштрасса виконується:

$\det\begin{bmatrix} \wp(z) & \wp'(z) & 1\\ \wp(y) & \wp'(y) & 1\\ \wp(z+y) & -\wp'(z+y) & 1 \end{bmatrix}=0$

(або в більш симетричній формі

$\det\begin{bmatrix} \wp(u) & \wp'(u) & 1\\ \wp(v) & \wp'(v) & 1\\ \wp(w) & \wp'(w) & 1 \end{bmatrix}=0$

де $u+v+w=0$).

Також

$\wp(z+y)=\frac{1}{4} \left\{ \frac{\wp'(z)-\wp'(y)}{\wp(z)-\wp(y)} \right\}^2 -\wp(z)-\wp(y).$

і

$\wp(2z)= \frac{1}{4}\left\{ \frac{\wp''(z)}{\wp'(z)}\right\}^2-2\wp(z),$

якщо $2z$ не є періодом.

Вираження довільних еліптичних функцій через функції Вейєрштрасса

Будь-яка еліптична функція з періодами $a$ і $b$ може бути представлена у вигляді $f(z)=h(\wp (z))+g(\wp (z)){\wp}'(z)$ де h, g — раціональні функції, $\wp(z)$ — функція Вейєрштрасса з тими ж періодами що і у $f(z)$. Якщо при цьому $f(z)$ є парною функцією, то її можна представити у вигляді $f(z)=h(\wp (z))$, де h раціональна. Іншими словами поле еліптичних функцій з фундаментальними періодами $a$ і $b$ є скінченним розширенням поля $\C$ комплексних чисел, з породжуючими елементами $\wp (z)$ і ${\wp}'(z)$.

Див. також

• Еліптична функція
• Еліптична крива
• Ряди Ейзенштейна

Література

1. K. Chandrasekharan, Elliptic functions (1980), Springer-Verlag ISBN 0-387-15295-4
2. Serge Lang, Elliptic Functions (1973), Addison-Wesley, ISBN 0-201-04162-6