Ендоморфізм

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В математиці ендоморфізмом називають морфізм (або гомоморфізм) від математичного об'єкта до себе. Наприклад,ендоморфізмом векторного простору V буде лінійне відображення ƒ: V → V, а ендоморфізмом групи G буде гомоморфізм груп ƒ: G → G. Загалом ми можемо говорити про ендоморфізм у теорії категорій. У категорії множин ендоморфізм - функціональне відображення множини самої на себе.

У будь-якій категорії, композиція двох ендоморфізмів X є ендоморфізмом X. Це означає,що множина всіх ендоморфізмів Х формує Моноїд. Позначається End(X) (або EndC(X)(щоб підкреслити категорію С).

Оборотний ендоморфізм Х є автоморфізмом. Множиною всіх автоморфізмів є підмножина End(X), з груповою структурою, і називається групою автоморфізмів Х і позначається Aut(X). Розгляньте діаграму нижче(стрілки позначають імплікації):

автоморфізм \Rightarrow ізоморфізм
\Downarrow \Downarrow
ендоморфізм \Rightarrow гомоморфізм

Будь-які два ендоморфізми абелевої групи A можна обчислити за формулою (ƒ + g)(a) = ƒ(a) + g(a). Відповідно до цієї формули ендоморфізми абелевих груп утворюють кільце ендорфізмів.Наприклад множина всіх ендорфізмів Zn - це кільце всіх n × n матриць, яка складається з цілих значень. Ендоморфізм векторного простору або модуля також утворюють кільце, як це роблять ендоморфізми будь-якого елемента в предекативних категоріях.

Теорія операторів[ред.ред. код]

В будь-якій конкретній категорії, особливо для векторного простору, ендоморфізм - це відображення множини самої на себе, може інтерпретуватись як унарна операція, що діє на ці елементи. Це дозволить нам визначити поняття орбіти елементів тощо. В залежності від додаткової структури, категорії визначені в розділах(Топологія). Такі оператори можуть мати такі властивості, як неперервна функція і так далі. Більше інформації ви знайдете в розділі Теорія операторів.

Ендофункція в математиці[ред.ред. код]

В математиці ендофункція - це функція, область значень якої дорівнює області її визначення. Ендофункція гомоморфізму - це ендоморфізм. Нехай S - це довільна множина. Серед ендофункцій на S знайдеться перестановка з S і констант функцій, пов'язаних з x\in S даних c\in S. Кожна перестановка з S має свою область значень, еквіваленту області визначень, і є бієктивною та інволютивною. Постійна функція на S, якщо S містить більше одного елемента, має область значень, яка є підмножиною області визначень, та не є бієктивною (інволютивною). Частково бієктивні ендофункції є інволютивними,тобто функціями, які співпадають зі своїми інверсіями.

Див.також:[ред.ред. код]