Епіморфізм

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Епіморфізм у категоріїморфізм m:A\to B категорії C, для якого із будь-якої рівності f\circ m=h\circ m випливає, що f=h (іншими словами, на m можна скорочувати справа).

У категорії множин роль епіморфізмів грають сюр'єкції, у загальній алгебрі ― сюр'єктивні гомоморфізми. Двоїстим до поняття епіморфізм є поняття мономорфізму. Багато авторів в абстрактній та універсальній алгебрі визначають епіморфізм просто як сюр'ектівний гомоморфізм .


Властивості[ред.ред. код]

  • Добуток двох епіморфізмів є епіморфізмом. Якщо добутком двох морфізмів f*g є епіморфізм, то f має бути епіморфізмом.
  • Кожний правий дільник епіморфізму є епіморфізмом.
  • Клас усіх об'єктів і клас усіх епіморфізмів довільної категорії утворюють підкатегорію.

Пов'язані концепції[ред.ред. код]

Серед інших концепцій вирізняють регулярні епіморфізми, екстремальні епіморфізми, сильні епіморфізми та розділені епіморфізми. Регулярний епіморфізм - епіморфізм, який вирівнює паралельну пару морфізмів. Екстремальний епімрофізм - епіморфізм, який не має мономорфізму за другий фактор, якщо тільки цей мономорфізм не є ізоморфізмом. Розділений епіморфізм - епіморфізм, що має правосторонню інверсію

Морфізм, що є мономорфізмом та епіморфізмом одночасно, називають біоморфізмом. Кожен ізоморфізм є біоморфізмом, проте зворотнє не завжди вірно

Термінологія[ред.ред. код]

Парні терміни епіморфізм та мономорфізм були вперше представлені групою вчених Бурбакі. Вони використовували епіморфізм як скорочення до Сюр'єкції. Деякі теоретики вважали, що епіморфізм є правильним аналогом сюр'єкції в довільній категорії, подібно до того, як мономорфізми є майже точною копією ін'єкцій. На жаль, це не є вірним, оскільки регулярні та сильні епіморфізми поводяться набагато більш схоже до сюр'єкцій ніж звичайні епіморфізми. Сандерс Маклейн намагався створити відмінність між епіморфізмами та епічними морфізмами, які і є епіморфізмами у сучасному розумінні. Проте це розходження не прижилося.

Розповсюдженою помилкою є те, що епіморфізми вважають ідентичними покращеними версіями сюр'єкцій. На жаль, це рідко є правдою, оскільки епіморфізми можуть поводити себе дуже несподівано. Наприклад, дуже важко класифікувати всі епіморфізми кілець. Загалом, епіморфізми мають свою унікальну концепцію, схожу до сюр'єкцій, проте в той самий час принципово іншу.

Література[ред.ред. код]

  • С. Мак Лейн Категории для работающего математика. — Физматлит, 2004 [1998].