Ермітова матриця

Квадратна матриця $\ A$ з комплексними елементами називається ермітовою (на честь Шарля Ерміта) чи само-спряженою, якщо вона дорівнює своїй ермітово-спряженій матриці, тобто

$\ A=A^*$     (у фізичній нотації: $\ A=A^\dagger$).

Це еквівалентно до системи рівняннь $a_{ij}=\overline{a_{ji}}$ для елементів матриці $\ A.$

Властивості

• Ермітова матриця є частковим випадком нормальної матриці.
• Діагональні елементи ермітової матриці є дійсними числами.
• Визначник ермітової матриці — дійсне число.
• Власні значення ермітової матриці є дійсними числами.
• Обернена матриця до ермітової, якщо існує, то є ермітовою матрицею.
• Сума ермітових матриць є ермітовою матрицею.
• Добуток ермітових матриць A і B є ермітовою матрицею тоді і тільки тоді, коли вони є переставними ( $AB = BA$ ).
• Матриця ермітова оператора в ермітовому просторі відносно будь-якого ортонормального базиса є ермітовою.
• Жорданова форма ермітової матриці діагональна.

Часткові випадки

Частковими випадками ермітових матриць є:

• додатньоозначені матриці — у них всі власні значення додатні;
• невід'ємноозначені матриці — у них всі власні значення невід'ємні;
• від'ємноозначені матриці — у них всі власні значення від'ємні.

Зв'язок з комплексними числами

Довільну квадратну матрицю можна представити як суму деякої ермітової та антиермітової матриць:

$A = H_1 + i H_2, \qquad H_1 = \frac{A + A^*}{2}, \quad H_2 = \frac{A - A^*}{2i},$

де:

$\ H_1^* = H_1, \; H_2^* = H_2$    — ермітові матриці,

$\ {(i H_2)}^* = -(i H_2)$    — антиермітова матриця.

Також справедливо, що матриця $\ A$ є нормальною тоді і тільки тоді, коли матриці $\ H_1, H_2$ переставні:

$A^*A=AA^* \; \iff \; H_1H_2=H_2H_1.$

Вищенаведена властивість вводить аналогію між комплексними числами та нормальними матрицями.

Отже, якщо розглядати нормальні матриці як узагальнення комплексних чисел, то:

• ермітові матриці в такому випадку відіграватимуть роль дійсних чисел;
• антиермітові — чисто уявних комплексних чисел;
• і вищенаведені часткові випадки ермітових матриць будуть аналогом додатніх, невід'ємних і від'ємних дійсних чисел.

Приклад

$A=\begin{bmatrix}1 & 2-3i\\2+3i & 4\end{bmatrix}$ — ермітова матриця $2\times 2$ тому, що

$A^*=\begin{bmatrix}1 & 2-3i\\2+3i & 4\end{bmatrix}=A,$

або $1=\bar{1}, \quad 4=\bar{4}, \quad 2-3i=\overline{2+3i}.$

Див. також

• Теорія матриць
• Нормальна матриця
• Додатноозначена матриця

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. «IX», Теория матриц друге. — С. 576 с.. — Москва : Наука, 1967.