Ермітова матриця

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Квадратна матриця \ A з комплексними елементами називається ермітовою (на честь Шарля Ерміта) чи само-спряженою, якщо вона дорівнює своїй ермітово-спряженій матриці, тобто

\ A=A^*     (у фізичній нотації: \ A=A^\dagger).

Це еквівалентно до системи рівняннь a_{ij}=\overline{a_{ji}} для елементів матриці \ A.

Властивості[ред.ред. код]

Часткові випадки[ред.ред. код]

Частковими випадками ермітових матриць є:

  • додатньоозначені матриці — у них всі власні значення додатні;
  • невід'ємноозначені матриці — у них всі власні значення невід'ємні;
  • від'ємноозначені матриці — у них всі власні значення від'ємні.

Зв'язок з комплексними числами[ред.ред. код]

Довільну квадратну матрицю можна представити як суму деякої ермітової та антиермітової матриць:

A = H_1 + i H_2, \qquad H_1 = \frac{A + A^*}{2}, \quad H_2 = \frac{A - A^*}{2i},

де:

\ H_1^* = H_1, \; H_2^* = H_2    — ермітові матриці,
\ {(i H_2)}^* = -(i H_2)    — антиермітова матриця.

Також справедливо, що матриця \ A є нормальною тоді і тільки тоді, коли матриці \ H_1, H_2 переставні:

A^*A=AA^* \; \iff \; H_1H_2=H_2H_1.

Вищенаведена властивість вводить аналогію між комплексними числами та нормальними матрицями.

Отже, якщо розглядати нормальні матриці як узагальнення комплексних чисел, то:

  • ермітові матриці в такому випадку відіграватимуть роль дійсних чисел;
  • антиермітові — чисто уявних комплексних чисел;
  • і вищенаведені часткові випадки ермітових матриць будуть аналогом додатніх, невід'ємних і від'ємних дійсних чисел.

Приклад[ред.ред. код]

A=\begin{bmatrix}1 & 2-3i\\2+3i & 4\end{bmatrix} — ермітова матриця 2\times 2 тому, що

A^*=\begin{bmatrix}1 & 2-3i\\2+3i & 4\end{bmatrix}=A,

або 1=\bar{1}, \quad 4=\bar{4}, \quad 2-3i=\overline{2+3i}.

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]