Ермітів оператор

Обмежений лінійний оператор $A:H\to H$ у комплексному гільбертовому просторі називається ермітовим, якщо для всіх $u,v\in H$ виконується тотожність

$(Au,v)=(u,Av)\, ,$

що записується також як $A=A^*.$ Ермітові оператори відіграють важливу роль у квантовій механіці. У формалізмі Шредінгера, вімірюваним фізичним величинам відповідають ермітові (насправді, самоспряжні) оператори у гільбертовому просторі векторів стану.

Характеризації ермітових операторів

Наступні властивості обмеженного лінійного оператора $A$ у комплексному гільбертовому просторі $H$ виконуються тоді і тільки тоді, коли цей оператор — ермітовий.

1. Матриця $A$ відносно довільного ортогонального базису $H$ є ермітовою.
2. В $H$ існує ортогональний базис, відносно якого матриця $A$ є ермітовою.
3. В $H$ існує ортогональний базис, відносно якого матриця $A$ є діагональною з дійсними елементами.
4. В $H$ існує ортогональний базис утворений з власних векторів оператора $A$ з дійсними власними значеннями.

Див. також

Самоспряжний оператор