Жорданова нормальна форма

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

У лінійній алгебрі жорданова нормальна форманормальна форма, до якої можна привести довільну квадратну матрицю над полем, що містить всі її власні значення, за допомогою переходу до певного базису. Дана форма запису матриці має важливе теоретичне значення у лінійній алгебрі і при розв'язуванні систем диференціальних рівнянь.

Мотивація[ред.ред. код]

Квадратну матрицю A розмірності n можна привести до діагонального виду тоді і тільки тоді, коли сума розмірностей власних просторів, що відповідають різним власним значенням дорівнює n, або ,еквівалентно, якщо і тільки якщо A має n лінійно незалежних власних векторів. Таке приведення до діагонального виду можливе не для всіх матриць. Наприклад матриця:

A =
\begin{bmatrix}
 5 &  4 &  2 &  1 \\
 0 &  1 & -1 & -1 \\
-1 & -1 &  3 &  0 \\ 
 1 &  1 & -1 &  2
\end{bmatrix}.

Власними значеннями даної матриці A є λ = 1, 2, 4, 4. Розмірність ядра матриці (A − 4In) дорівнює 1, отже A не допускає діагоналізації. Проте для неї існує невироджена матриця P, така що A = PJP−1, де

J = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 & 0 \\ 
0 & 0 & 4 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 4 \end{bmatrix}.

Матриця J є майже діагональною. Вона й називається жордановою формою матриці A.

Означення[ред.ред. код]

Матриця виду: 
\mathcal{J}_{\lambda} = \begin{bmatrix} 
    \lambda & 1 &  &  &  &  \\
     & \lambda & 1 &  & (0) &  \\
     &  & \ddots & \ddots &  &  \\
     &  &  & \ddots & \ddots &  \\
     & (0) &  &  & \lambda & 1 \\
     &  &  &  &  & \lambda \\
\end{bmatrix} називається жордановою клітиною із власним значенням \lambda.

Матриця

\mathcal{J} =
\begin{bmatrix} 
    \mathcal{J}_{\lambda_1} &                         &        &        &                       \\
                            & \mathcal{J}_{\lambda_2} &        &        &                        \\
                            &                         & \ddots &        &                        \\
                            &                         &        & \ddots &                         \\
                            &                         &        &        & \mathcal{J}_{\lambda_r} \\
\end{bmatrix}

де блоки на діагоналі — жорданові клітини, називається жордановою матрицею.

Для довільної квадратної матриці A над алгебраїчно замкнутим полем k завжди існує така квадратна невироджена матриця C над k, що J=C^{-1}AC є жордановою матрицею (інакше кажучи A подібна у k деякій жордановій матриці).

Матриця J=C^{-1}AC, вказана вище, називається жордановою формою (або жордановою нормальною формою) матриці A.

Жорданова форма матриці визначена не однозначно, а з точністю до порядку жорданових клітин. Точніше, дві жорданові матриці подібні у k у тому і лише в тому випадку, коли вони складені з одних і тих же жорданових клітин і відрізняються один від одного лише розташуванням цих клітин на головній діагоналі.

Крім жорданової нормальної форми, розглядають ряд інших типів нормальних форм матриці. До їх розгляду вдаються, наприклад, коли основне поле не містить всіх коренів мінімального многочлена матриці.

Узагальнені (приєднані) власні вектори[ред.ред. код]

Нехай матриця A подібна деякій жордановій клітині, тобто для деякої невиродженої матриці P виконується P−1AP = Jλ, або

\; AP = PJ_\lambda.

Позначимо вектори-стовпці матриці P pi, i = 1, ..., k, тоді

A \begin{bmatrix} p_1 & p_2 & p_3 & \ldots & p_k \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} p_1 & p_2 & p_3 & \ldots & p_k \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 
    \lambda & 1 &  &  &  &  \\
     & \lambda & 1 &  & (0) &  \\
     &  & \ddots & \ddots &  &  \\
     &  &  & \ddots & \ddots &  \\
     & (0) &  &  & \lambda & 1 \\
     &  &  &  &  & \lambda \\
\end{bmatrix} =
 = \begin{bmatrix} p_1 & p_1 + \lambda p_2 & p_2 + \lambda p_3 & \ldots & p_{k-1} + \lambda p_k \end{bmatrix}

Звідси

\; (A - \lambda I) p_1 = 0
\; (A - \lambda I) p_2 = p_1
\; (A - \lambda I) p_3 = p_2
\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots
\; (A - \lambda I) p_k = p_{k-1}

Далі \; (A - \lambda I)^r p_k = p_{k-r} , і зокрема \; (A - \lambda I)^k p_k = (A - \lambda I) p_1 = 0

Вектор x для якого виконується \; (A - \lambda I)^m x = 0 для деякого власного значення λ і цілого числа m називається узагальненим (приєднаним) власним вектором.

Якщо розглядати тепер довільну жорданову матрицю, то подібно до попереднього можна показати, що деяка матриця є подібною до жорданової матриці, якщо існує базис лише з узагальнених власних векторів. Тобто існують цілі числа n_1, n_2, \ldots, n_s і вектори p_i^j, \,i = 1 \ldots, j = 1 \ldots n_i, де p_i^1 — власні вектори і \; (A - \lambda I) p_i^k = p_i^{k-1} для відповідного власного значення λ.

Властивості[ред.ред. код]

  • Кількість жорданових клітин порядку n з власним значенням \lambda у жордановії формі матриці A можна обчислити за формулою
c_n(\lambda)=
\operatorname{rank}(A-\lambda I)^{n-1}
-2\operatorname{rank}(A-\lambda I)^{n}
+\operatorname{rank}(A-\lambda I)^{n+1}
де I - одинична матриця того ж порядку що і A, \operatorname{rank} Bранг матриці B, а \operatorname{rank} (A-\lambda I)^0, за визначенням, рівний порядку A.

Дійсна жорданова нормальна форма[ред.ред. код]

Поле дійсних чисел не є алгебраїчно замкнутим тому не кожну матрицю з дійсними елементами можна звести до жорданової матриці з дійсними елементами. Це можливо лише у випадку коли всі власні значення матриці є дійсними.

Проте для дійсної матриці кожному жордановому блоку для комплексного власного значення a + ib відповідає жордановий блок для спряженого комплексного власного значення a - ib. Цим двом клітинам відповідає дійсна жорданова клітина:

 J_j= \begin{pmatrix} 
a_j & b_j & 1& 0& & & & 0 \\
-b_j & a_j & 0 & 1& & & &  \\ 
& & a_j & b_j & 1& 0&  &  \\
& & -b_j & a_j & 0 & 1&  &  \\
&&& \ddots{} & \ddots{} & \ddots{} &  1& 0\\
&&&& \ddots{} & \ddots{} & 0 & 1  \\ 
&&&&& \ddots{} & a_j & b_j  \\
0 &&&&& & -b_j & a_j \\ 

\end{pmatrix}.

Загалом звідси можна визначити дійсну жорданову нормальну форму:

 
   J= \begin{pmatrix}
        J_1 &  & 0 \\
         & \ddots{}& \\ 
        0 &  & J_k 
      \end{pmatrix}
   = P^{-1}AP

де J_i — звичайні жорданові клітини для дійсних власних значень і визначені вище дійсні жорданові клітини для спряжених комплексних власних значень.

Література[ред.ред. код]

  • Гантмахер Ф. Р. Теория матриц.-М.: Наука 1966, 576с.
  • Гельфанд І. М. (1998). Лекции по линейной алгебре (вид. п'яте). Москва: Наука. с. 320 с. ISBN 5-7913-0015-8. 
  • В. А. Ильин, Э. Г. Позняк Линейная алгебра, М.: Наука — Физматлит, 1999.

Посилання[ред.ред. код]