Загальна лінійна група

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Загальна лінійна група — в математиці група всіх оборотних квадратних матриць над деяким кільцем.

Формальне визначення[ред.ред. код]

Загальною лінійною групою порядку n називається четвірка \left(U_n(R), \cdot, {}^{-1}, I\right), де:

Будь-яка підгрупа загальної лінійної групи називається лінійною групою.

Векторні простори[ред.ред. код]

Якщо Vвекторний простір над полем F, то загальною лінійною групою лінійного простру \operatorname{GL}(V) або \operatorname{Aut}(V) називається група всіх автоморфізмів V, тобто множина всіх бієктивних лінійних відображень V \to V де груповою операцією є композиція відображень .

Якщо простір V має скінченну розмірність \dim V = n, то \operatorname{GL}(V) і \operatorname{GL}(n, K) ізоморфні. Однак, ізоморфізм не є канонічним, оскільки він залежить від вибору базисів V. Якщо (e_1, \dots, e_n) — базис, і автоморфізмів \operatorname{GL}(V), маємо

Te_k = \sum_{j=1}^n a_{jk} e_j

для деяких констант a_{jk} \in K. Матриця, відповідна Т має елементами a_{jk}.

Визначники[ред.ред. код]

Матриця є оборотна над полем F, якщо і тільки якщо її визначник відмінний від нуля. Таким чином, \operatorname{GL}(n, K) може бути визначена як група матриць з ненульовим визначником. Для кільця R маємо: матриця над R є оборотною тоді і тільки тоді, коли її визначник є оборотним елементом в R. Отже, \operatorname{GL}(n, R) може бути визначена як група матриць з оборотними визначниками.

Спеціальна лінійна група[ред.ред. код]

Спеціальною лінійною групою порядку n над полем F називається лінійна група, що містить всі квадратні матриці порядку n з елементами поля K, визначник яких дорівнює одиниці. Спеціальна лінійна група позначається \operatorname{SL}(n, K).

Примітки[ред.ред. код]

  • Ці матриці утворюють групу, так як визначник добутку двох матриць дорівнює добутку їх визначників, і тому множина даних матриць замкнута відносно множення.
  • Спеціальну лінійну групу \operatorname{SL}(n, K) можна охарактеризувати як групу лінійних перетворень, що зберігають об'єм і напрям .

Скінченні поля[ред.ред. код]

Якщо K є скінченним полем з q елементами, іноді використовується запис \operatorname{GL}(n, q).

Порядок[ред.ред. код]

Порядок групи \operatorname{GL}(n, K)

|\operatorname{GL}(n, K)| = \prod_{i=0}^{n-1}~(q^n - q^i).

Для прикладу, порядок \operatorname(GL)(3,2) рівний (8 - 1) (8 - 2) (8 - 4) = 168. Це група автоморфізмів площини Фано, і групи \mathbb(Z) _2^3

Аналогічні формули для \operatorname{SL}(n, K):

|\operatorname{SL}(n, K)| = {1 \over q-1} \prod_{i=0}^{n-1}~(q^n - q^i).

Властивості[ред.ред. код]

Пов'язані групи[ред.ред. код]

Проективна група[ред.ред. код]

Проективна група \operatorname{PGL}(n, K) і проектні спеціальні лінійні групи \operatorname{PSL}(n, K) є факторгрупами \operatorname{GL}(n, K) і \operatorname{SL}(n, K) відносно скалярних матриць.

Афінна група[ред.ред. код]

Афінна група \operatorname{Aff}(n, K) — розширення \operatorname{GL}(n, F) за допомогою групи перенесень. Її можна записати за допомогою напівпростого добутку:

\operatorname{Aff}(n, K) = \operatorname{GL}(n, K) \ltimes K^n. Афінна група може також розглядатися як групи всіх афінних перетворень афінного простору.

Література[ред.ред. код]

  • Baker A. Matrix groups, an introduction to Lie groups Springer, 2002 ISBN 1852334703