Загальна лінійна група

Загальна лінійна група — в математиці група всіх оборотних квадратних матриць над деяким кільцем.

Формальне визначення

Загальною лінійною групою порядку n називається четвірка $\left(U_n(R), \cdot, {}^{-1}, I\right)$, де:

• R є асоціативним кільцем з одиницею,
• $U_n (R)$ — оборотні матриці порядку n над даним кільцем,
• Груповою операцією є множення матриць,
• Зворотним елементом є обернена матриця,
• Одиничним елементом є одинична матриця.

Будь-яка підгрупа загальної лінійної групи називається лінійною групою.

Векторні простори

Якщо V — векторний простір над полем F, то загальною лінійною групою лінійного простру $\operatorname{GL}(V)$ або $\operatorname{Aut}(V)$ називається група всіх автоморфізмів V, тобто множина всіх бієктивних лінійних відображень $V \to V$ де груповою операцією є композиція відображень .

Якщо простір V має скінченну розмірність $\dim V = n$, то $\operatorname{GL}(V)$ і $\operatorname{GL}(n, K)$ ізоморфні. Однак, ізоморфізм не є канонічним, оскільки він залежить від вибору базисів V. Якщо $(e_1, \dots, e_n)$ — базис, і автоморфізмів $\operatorname{GL}(V)$, маємо

$Te_k = \sum_{j=1}^n a_{jk} e_j$

для деяких констант $a_{jk} \in K$. Матриця, відповідна Т має елементами $a_{jk}$.

Визначники

Матриця є оборотна над полем F, якщо і тільки якщо її визначник відмінний від нуля. Таким чином, $\operatorname{GL}(n, K)$ може бути визначена як група матриць з ненульовим визначником. Для кільця R маємо: матриця над R є оборотною тоді і тільки тоді, коли її визначник є оборотним елементом в R. Отже, $\operatorname{GL}(n, R)$ може бути визначена як група матриць з оборотними визначниками.

Спеціальна лінійна група

Спеціальною лінійною групою порядку n над полем F називається лінійна група, що містить всі квадратні матриці порядку n з елементами поля K, визначник яких дорівнює одиниці. Спеціальна лінійна група позначається $\operatorname{SL}(n, K)$.

Примітки

• Ці матриці утворюють групу, так як визначник добутку двох матриць дорівнює добутку їх визначників, і тому множина даних матриць замкнута відносно множення.
• Спеціальну лінійну групу $\operatorname{SL}(n, K)$ можна охарактеризувати як групу лінійних перетворень, що зберігають об'єм і напрям .

Скінченні поля

Якщо K є скінченним полем з q елементами, іноді використовується запис $\operatorname{GL}(n, q)$.

Порядок

Порядок групи $\operatorname{GL}(n, K)$

$|\operatorname{GL}(n, K)| = \prod_{i=0}^{n-1}~(q^n - q^i)$.

Для прикладу, порядок $\operatorname(GL)(3,2)$ рівний (8 - 1) (8 - 2) (8 - 4) = 168. Це група автоморфізмів площини Фано, і групи $\mathbb(Z) _2^3$

Аналогічні формули для $\operatorname{SL}(n, K)$:

$|\operatorname{SL}(n, K)| = {1 \over q-1} \prod_{i=0}^{n-1}~(q^n - q^i)$.

Властивості

• Якщо n > 2, то група $\operatorname{GL}(n, K)$ не є абелевою.
• $\operatorname{SL}(n, K)$ є нормальною підгрупою $\operatorname{GL}(n, K)$.
• Нехай $K^*$ буде мультиплікативною групою поля K, тоді визначник є гомоморфізмом груп:

  $\det\colon \operatorname{GL}(n, K) \to K^*$.

• $\operatorname{GL}(n, K)$ є напівпростим добутком $\operatorname{SL}(n, K) \rtimes K^*$

Пов'язані групи

Проективна група

Проективна група $\operatorname{PGL}(n, K)$ і проектні спеціальні лінійні групи $\operatorname{PSL}(n, K)$ є факторгрупами $\operatorname{GL}(n, K)$ і $\operatorname{SL}(n, K)$ відносно скалярних матриць.

Афінна група

Афінна група $\operatorname{Aff}(n, K)$ — розширення $\operatorname{GL}(n, F)$ за допомогою групи перенесень. Її можна записати за допомогою напівпростого добутку:

$\operatorname{Aff}(n, K) = \operatorname{GL}(n, K) \ltimes K^n$. Афінна група може також розглядатися як групи всіх афінних перетворень афінного простору.

Література

• Baker A. Matrix groups, an introduction to Lie groups Springer, 2002 ISBN 1852334703