Загальна теорія множин

Загальна теорія множин (General set theory - GST) викладена Джорджем Булосом (George Stephen Boolos(англ.)) в його статті "Iteration again" .

Аксіоматика GTS

Аксіомами Загальної теорії множин є:

• Аксіома об'ємності (екстенсіональності)
• Аксіома схеми виділення (схеми специфікації)
• Аксіома приєднання

Ці три аксіоми входять до аксіоматичної теорії множин Z.

Аксіома об'ємності

Якщо дві множини мають одні і ті ж елементи, вони тотожні.

$\forall x \forall y [\forall z [z \in x \leftrightarrow z \in y] \rightarrow x = y].$

Дж. Булос вважав, що аксіома об'ємності має спеціальний епістемологічний статус, якого не мають інші аксіоми. Якщо хтось скаже, що існують різні множини з одними й тими ж членами, він переконає нас в тому, що використовує поняття відмінне від нашого. Це враження буде набагато більшим, ніж при запереченні ким-небудь іншої аксіоми. Тому виникає спокуса назвати аксіому об'ємності (екстенсіональності) «аналітичною», оскільки її значення визначається значенням понять, які входять в неї.

Аксіома схеми виділення

Будь якій множині x і властивості F відповідає множина y, елементами якої є ті і тільки ті елементи x, які володіють властивістю F.

$\forall F\forall z \exists y \forall x [x \in y \leftrightarrow x \in z \land F(x)].$

Аксіомою виділення створюються лише такі підмножини множини, існування яких гарантоване іншими аксіомами.

Хоча аксіома виділення відіграє важливу роль в обмеженні розміру великих кількостей і блокуванні ряду парадоксів, вона не дає того, що треба математиці.

Аксіома приєднання

Якщо x і y - множини, то існує така множина w, приєднання x і y, чиї елементи - тільки y і елементи x.

$\forall x \forall y \exist w \forall z [ z \in w \leftrightarrow (z \in x \or z=y)].$

Див. також

• Аксіоматична теорія множин
• Теорія множин Цермело-Френкеля
• Аксіоми Пеано

Література

• Boolos G. The iterative conception of set // Jour. of Philosophy. – 1971. – V. 68(8) – 215-231 р.
• Boolos G. "Iteration again" //Philosophical Topics. – 1989. – №17 – 5-21 p.
• Дж. Булос, Р. Джеффри Вычислимость и логика. Пер. с англ. — М., Мир, 1994 — 396с, ил. ISBN 5-03-003067-0
• Boolos G, Richard Jeffrey and John P. Burgess, eds. Logic, Logic, and Logic. — Harvard : University press, 1998. – 88–104 р.
• Целищев, В. В. Теоретико-множественные аксиомы:мотивация и роль в математическом познании // Философия науки. – 2002. – №3. – С. 32– 56.