Задання групи

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Задання групи  — в математиці спосіб визначення групи за допомогою множини породжуючих елементів S, таких що кожен елемент групи може бути записаний через добуток цих елементів, і множини співвідношень породжуючих елементів R. Як правило, таке задання позначається так:

\langle S \mid R\rangle.\,\!

Задання групи є дуже компактним і зручним способом визначення групи, проте із задання групи часто важко встановити навіть найпростіші властивості групи, зокрема чи є група скінченною, комутативною, тривіальною і т. д. Особливо часто задання груп використовується в комбінаторній і геометричній теорії груп, а також топології.

Формальне визначення[ред.ред. код]

Нехай T  — деяка множина, а <S>  — вільна група над цією множиною. Нехай тепер R  — деяка множина слів над S тобто деяка підмножина <S>. Позначимо через N нормальне замикання множини R, тобто мінімальну нормальну підгрупу групи <S>, що містить всі елементи R. Визначимо тепер факторгрупу:

\langle S \mid R \rangle = \langle S \rangle / N.

Елементи множини S називаються породжуючими(генеруючими) елементами, а елементи R співвідношеннями. Якщо деяка група ізоморфна до побудованої вище групи \langle S \mid R \rangle , то кажуть, що ця група має задання \langle S \mid R \rangle . Якщо r \in R  — деякий елемент множини співвідношень то часто пишуть r=1. Також використовується вираз x=y де x,y \in <S> і y^{-1}x \in R.

Властивості[ред.ред. код]

  • Для кожної групи існує задання
Справді нехай G деяка група. Позначимо через <G> вільну групу над множиною елементів G. Тоді згідно з властивостями вільної групи одиничне відображення з G в G єдиним чином продовжується до гомоморфізму з <G> в G. Позначимо тепер R множину елементів <G>, що входять до ядра цього гомоморфізму. Тоді <G|R> є одним із способів задання групи. Зрозуміло, що це задання є дуже надлишковим.
  • Теорема Діка. Якщо G=\langle S \mid R\rangle.\,\!, а H=\langle S \mid R \cup R^{'} \rangle.\,\! (тобто множини породжуючих елементів у двох груп однакові і множина співвідношень групи H містить всі співвідношення групи G і, можливо ще й інші) тоді H ізоморфна деякій факторгрупі <G>.
Справді якщо N нормальне замикання R, а N' нормальне замикання R \cup R^', тоді N \subset N^'. Тоді згідно з теоремою про ізоморфізм маємо \langle S \rangle / N^' = (\langle S \rangle / N)/(N^'/N), що й доводить твердження.

Приклади[ред.ред. код]

В поданій нижче таблиці показані деякі задання груп. Для усіх груп вибрані найпростіші задання.

Група Задання групи Коментарі
Вільна група на множині S \langle S \mid \varnothing \rangle Група вільна бо немає співвідношень.
Cn, циклічна група порядку n \langle a \mid a^n \rangle\,\!
D2n, дігедральна група порядку 2n \langle r, f \mid r^n, f^2, (rf)^2  \rangle\,\! r- поворот, f - симетричне відображення
D, безмежна дігедральна група \langle r, f \mid f^2, (rf)^2 \rangle\,\!
Dicn, діциклічна група \langle r, f \mid r^{2n} = 1, r^n = f^2, frf^{-1} = r^{-1} \rangle\,\!
Z × Z \langle x, y \mid xy=yx \rangle\,\!
Zm × Zn \langle x, y \mid x^m=1, y^n=1, xy=yx \rangle\,\!
Вільна абелева група S \langle S \mid R \rangle\,\! де R множина всіх комутаторів елементів S
Симетрична група, Sn породжуючі елементи: \sigma_1, \ldots, \sigma_{n-1}
співвідношення:
  • {\sigma_i}^2 = 1,
  • \sigma_i\sigma_j = \sigma_j\sigma_i \mbox{ if } j \neq i\pm 1,
  • \sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i = \sigma_{i+1}\sigma_i\sigma_{i+1}\
Тут \sigma_i перестановка, що міняє місцями i -ий елемент з i+1 -им.
the braid group, Bn породжуючі елементи: \sigma_1, \ldots, \sigma_{n-1}

співвідношення:

  • \sigma_i\sigma_j = \sigma_j\sigma_i \mbox{ if } j \neq i\pm 1,
  • \sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i = \sigma_{i+1}\sigma_i\sigma_{i+1}\
Тетраедральна група, TA4 \langle s,t \mid s^2, t^3, (st)^3 \rangle\,\!
Октаедральна група, OS4 \langle s,t \mid s^2, t^3, (st)^4 \rangle\,\!
Ікосаедральна група, IA5 \langle s,t \mid s^2, t^3, (st)^5 \rangle\,\!
Група кватерніонів, Q \langle i,j \mid i^4, i^2j^2, ijij^{-1} \rangle\,\!
SL_2(\mathbb{Z}) \langle a,b \mid aba=bab, (aba)^4 \rangle\,\!
GL_2(\mathbb{Z}) \langle a,b,j \mid aba=bab, (aba)^4,j^2,(ja)^2,(jb)^2 \rangle\,\!
PSL_2(\mathbb{Z}) \langle a,b \mid a^2, b^3 \rangle\,\! PSL2(Z) є вільним добутком циклічних груп Z2 і Z3
Група Гейзенберга \langle x,y,z \mid z=xyx^{-1}y^{-1}, xz=zx, yz=zy \rangle\,\!
Група Баумслага-Солітера, B(m,n) \langle a, b \mid  a^n = b a^m b^{-1}  \rangle\,\!
Група Тітса a^2 = b^3 = (ab)^{13} = [a, b]^5 = [a, bab]^4 = (ababababab^{-1})^6 = 1,

Скінченнопороджені і скінченнозадані групи[ред.ред. код]

  • Якщо для деякої групи існує задання зі скінченною множиною породжуючих елементів, то така група називається скінченнопородженою.
  • Якщо для деякої групи існує задання зі скінченною множиною породжуючих елементів і скінченною множиною співвідношень, то така група називається скінченнозаданою.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Coxeter, H. S. M. and Moser, W. O. J. (1980). Generators and Relations for Discrete Groups. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09212-9.
  • Johnson, D. L. (1990). Presentations of Groups. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-37824-9
  • Курош А. Г. Теория Групп, М.: Наука 1967 г.