Задача Бюффона

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Голка a перетинає пряму, а голка b — ні.

Задача Бюффона використовується для статистичного обчислення числа Пі. Її вигадав французький учений Бюффон 1777 року.

Задача[ред.ред. код]

Площина розграфлена паралельними прямими, які розташовані на відстані 2a одна від одної. На площину навмання кидають голку завдовжки 2l (2l < 2a). Знайти ймовірність того, що голка перетне одну з прямих.

Розв'язання[ред.ред. код]

Позначимо x — відстань від центру голки до найближчої прямої; через \varphi — кут між голкою та прямою (проти годинникової стрілки). Упорядкована пара чисел з одного боку задає на площині точку, що належить прямокутнику B = [0, \pi] \times [ 0 , a ]. Тому кидання голки на площину рівносильне киданню голки в прямокутник B. При цьому голка перетинається з прямою тоді і тільки тоді, коли справджується нерівність x \leq l \sin \varphi. Тобто, якщо голка перетинається з прямою, то точка, що їй відповідає, потрапляє всередину фігури, що обмежена кривою x = l \sin \varphi та віссю O \varphi. А оскільки точку кидають навмання, то ймовірність її потрапляння до цієї фігури обчислюється як геометрична ймовірність. Отже, шуканою ймовірністю є:

p = \frac{1}{a \pi} \int_0^\pi l \sin \varphi d \varphi = \frac{2l}{a\pi}

Обчислення числа Пі[ред.ред. код]

Уявімо що голка кинута на площину n разів, де n — досить велике, і при цьому вона m разів перетнула пряму. Якщо побудована модель адекватно описує експеримент, то при великих n частота числа перетинів має бути близькою до ймовірності, тобто має виконуватись співвідношення \frac{2l}{a\pi} \approx \frac{m}{n}, звідки дістанемо:

 \pi \approx \frac{2l}{a}\cdot \frac{n}{m}

Джерела[ред.ред. код]

  • В. М. Турчин (2003). Теорія ймовірностей. Основні поняття, приклади, задачі. (укр). Київ: А.С.К. ISBN 966-319-002-7.