Задача Штурма — Ліувілля

Надалі введено позначення Задача Штурма-Ліувілля — ЗШЛ.
Розглянемо оператор $Lu=-{\frac {d}{dx}}(p(x){\frac {du}{dx}})+q(x)u$,
перепишемо його у вигляді: $Lu=\lambda \rho (x)u,x\in (a,b)$ та введемо додаткові умови $\left[A_{1}u(a)-A_{2}u'(a)=0,\quad B_{1}u(b)+B_{2}u'(b)=0\right]$.
Надалі будемо вважати, що $p(x)\in {\mathit {C^{1}}}([a,b]),q(x),\rho (x)\in {\mathit {C}}([a,b]),$ крім того, $p(x)>0,\rho (x)>0,q(x)\geqslant 0,\quad A_{1},A_{2},B_{1},B_{2}=const,A_{1},A_{2}\geqslant 0,A_{1}+A_{2}>0,B_{1},B_{2}\geqslant 0,B_{1}+B_{2}>0$

Формулювання ЗШЛ

Знайти значення параметра $\lambda$ при яких існують нетривіальні розв'язки задачі $Lu=\lambda \rho (x)u,x\in (a,b)$, $\left[A_{1}u(a)-A_{2}u'(a),\quad B_{1}u(b)+B_{2}u'(b)\right],$ такі, що $u(x)\in {\mathit {C^{2}}}((a,b))\cap {\mathit {C^{1}}}([a,b])$ і знайти ці розв'язки.
Введемо область визначення оператора $L$:
$D_{L}={u\in {\mathit {C^{2}}}((a,b))\cap {\mathit {C^{1}}}([a,b])}$, які задовольняють крайові умови
$\left[A_{1}u(a)-A_{2}u'(a)=0,\quad B_{1}u(b)+B_{2}u'(b)=0\right]$, і такі, що $u''\in L_{2}(a,b)$.

Властивості оператора $L$ ЗШЛ

1. Якщо довільні функції $u,v$ належать області $D_{L}$ , то має місце рівність:

$\int _{a}^{b}(vLu-uLv)\,dx=0$.

1. Оператор $L$ ЗШЛ є самоспряженим, тобто $\forall u,v\in D_{L}$ виконується $(Lu,v)=(u,Lv)$.
2. Оператор $L$ ЗШЛ є додатньовизначеним: $(Lu,u)\geqslant 0$.

Власні значення та власні функції ЗШЛ

Вказані вище значення параметра $\lambda$ називається власними значеннями ЗШЛ, а відповідні їм розв'язки — власними функціями цієї задачі.

Основні властивості власних значень і власних функцій ЗШЛ

1. Власні значення ЗШЛ утворюють зліченну множину.
2. Власні функції, які відповідають різним власним значенням, ортогональні між собою з вагою $\rho (x)$, тобто $\int _{a}^{b}\rho (x)u_{1}(x)u_{2}(x)\,dx=0\,$, де $u_{1}(x),u_{2}(x)$ — власні функції.
3. Власні значення ЗШЛ — дійсні та невід'ємні.
4. Власні значення ЗШЛ — прості, тобто одному власному значенню не може відповідати дві і більше лінійно незалежних власних функції.
5. Власні функції ЗШЛ можна вибрати дійсними.