Задача виконання обмежень

Зада́ча викона́ння обме́жень (Constraint satisfaction problem) (ЗВО) — це математичні проблеми, визначені як сукупність об'єктів, стан яких має задовільняти ряду обмежень. ЗВО предсатвяє сутності проблеми як однорідний набір обмежень, що накладаються на змінні, які розв'язуються методами виконання обмежень. ЗВО є предметом інтенсивних досліджень і в галузі штучного інтелекту, і дослідженні операцій, оскільки закономірності у формулюванні цих задач складають загальну основу для аналізу та вирішення проблем в багатьох неспоріднених областях. ЗВО часто мають високу складність, що вимагає поєднання евристичних та комбінаторних методів пошуку для швидкого вирішення.
Приклади простих задач, які можуть розглядатись як задачі виконання обмежень:

• Задача про вісім ферзів
• Проблема чотирьох фарб
• Судоку

В загальному випадку, проблема виконання обмежень може бути більш складною і не зводитись до цих простих систем.

Формальне визначення

Формально задача виконання обмежень визначається трійкою $\langle X,D,C \rangle$, де $X$ — множина змінних, $D$ — область значень і $C$ — множина обмежень. Кожне обмеження, в свою чергу, є парою $\langle t,R \rangle$ (зазвичай представляються матрицею), де $t$ — кортеж з $n$ змінних та $R$ — $n$-місне відношення $D$. Оцінка змінної — це функція що відображає множину змінних на область значень, $v:X \rightarrow D$. Оцінка $v$ задовільняє обмеження $\langle (x_1,\ldots,x_n),R \rangle$ якщо $(v(x_1),\ldots,v(x_n)) \in R$. Розв'язок — це оцінка, що задовільняє всім обмеженням.

Розвязання

Задача виконання обмежень на скінченних областяє зазвичай вирішується за допомогою алгоритмів пошуку. Найчастіше використовуються пошук з поверненнями, з обмеженням глибини та локальний пошук.

Пошук з вертанням — це рекурсивний алгоритм. Він підтримує часткове означення змінних. Спочатку всі змінні невизначені. На кожному кроці обираємо змінну та по черзі перебираємо всі можливі її значення. Кожне значення з послідовності співставляється з обмеженнями; при невідповідності значення обмеженням рекурсивний виклик не виконується. Коли всі значення було переглянуто, алгоритм повертається. В цьому простому алгоритмі з поверненнями під відповідністю розуміємо задоволення всіх обмежень, всі змінні яких були визначені. Існує кілька варіантів повернення. Пошук з вертанням підвищує ефективність перевірки відповідності. Пошук з вертанням дозволяє в деяких випадках пришвидшити пошук за рахунок виключення «більше ніж однієї змінної».

Теоретичні аспекти задачі виконання обмежень

Проблеми розв'язання

Задачі виконання обмедень також вивчаються в теорії складності обчислень та теорії кінцевої моделі. Важливе питання полягає в тому, що для кожного набору відношень, множина всіх задач виконання обмежень, що може бути представлена лише за допомогою відношень з цієї множини, є P- або NP-повною задачею. Якщо така дихотомічна теорема справедлива, то задачі виконання обмежень забезпечують одну з найбільших відомих підмножин складності NP, що дозволяє уникнути проміжних задач NP-складності, існування якої було продемостовано в теоремі ладнері в припущенні, що P ≠ NP. Дихотомічна теорема Шафера оброблює той випадок, коли всі наявні відношення є логічними операторами, тобто множина значень має розмір 2. Дихотомічна теорема Шафера була узагальнена до більш широкого класу відношень.

Використані посилання

• CSP Tutorial

• Tsang, Edward (1993). Foundations of Constraint Satisfaction. Academic Press.  ISBN 0-12-701610-4
• A Rendezvous of Logic, Complexity, and Algebra // ACM Computing Surveys. — Т. 42. — (December 2009) (1) С. 1–32. DOI:10.1145/1592451.1592453.
• Dechter, Rina (2003). Constraint processing. Morgan Kaufmann.  ISBN 1-55860-890-7
• Apt, Krzysztof (2003). Principles of constraint programming. Cambridge University Press.  ISBN 0-521-82583-0
• Lecoutre, Christophe (2009). Constraint Networks: Techniques and Algorithms. ISTE/Wiley.  ISBN 978-1-84821-106-3
• Tomás Feder, Constraint satisfaction: a personal perspective, manuscript.
• Constraints archive
• Forced Satisfiable CSP Benchmarks of Model RB
• Benchmarks — XML representation of CSP instances
• Dynamic Flexible Constraint Satisfaction and Its Application to AI Planning, Ian Miguel — slides.
• Constraint Propagation — Dissertation by Guido Tack giving a good survey of theory and implementation issues