Задача двох тіл

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Класична механіка
\bold{F} = \frac{d\bold{p}}{dt}
Другий закон Ньютона
Історія класичної механіки
Два тіла обертаються навколо спільного центру мас.

Задача двох тіл — фундаментальна теоретична задача про рух двох матеріальних точок, що взаємодіють між собою, важлива для класичної та квантової механіки. Зокрема, при гравітаційній взаємодії між тілами, розв'язок задачі описує обертання тіл навколо спільного центру мас, а також гіперболічні траєкторії при розсіюванні масивних тіл.

Розв'язок класичної задачі двох тіл був опублікований Ісааком Ньютоном в його основній праці «Philosofiae naturalis principia mathematika» в 1687. Цей розв'язок дав змогу пояснити закони Кеплера, що описують рух планет навколо Сонця.

Загального аналітичного розв'язку задачі трьох тіл уже не існує.

Класична механіка[ред.ред. код]

В класичній механіці рівняння руху тіл масами  m_1 та  m_2 є законами Ньютона:

 m_1 \ddot{\mathbf{r}}_1 = - \nabla_{r_1} U(|\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2|) ,
 m_2 \ddot{\mathbf{r}}_2 = - \nabla_{r_2} U(|\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2|) ,

де  U(\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2)  — потенціальна енергія взаємодії між тілами.

При переході до системи центра мас ці рівняння зводяться до

 M \ddot{\mathbf{R}} = 0 ,
 \mu \ddot{\mathbf{r}} = - \nabla U(r) ,

де  \mathbf{R}  — радіус-вектор центра мас,  \mathbf{r} = \mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2  — вектор, що сполучає матеріальні точки,  M = m_1 + m_2  — сумарна маса двох тіл,  \mu  — зведена маса:

 \mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} .

Таким чином задача двох тіл розпадається на задачу про поступальний рух центру мас і задачу про рух матеріальної точки масою  \mu в центральному потенціалі. Прискорення центра мас дорівнює нулю, тобто він рухається із постійною швидкістю, відносний рух матеріальних точок складніший.

Закони збереження[ред.ред. код]

Задача про відносний рух, тобто рух матеріальної точки в центральному потенціалі, спрощується, якщо застосувати закони збереження енергії та моменту імпульсу:

 E = \frac{\mu \dot{\mathbf{r}}^2}{2} + U(r) = \text{const},
 \mathbf{L} = \mu [\mathbf{r} \dot\mathbf{r}] = \text{const} .

Вектор моменту імпульсу перперндикулярний як до радіус-вектора матеріальної точки, так і до її вектора її швидкості. Тому рух матеріальної точки завжди залишається в площині, перпендикулярній до  \mathbf{L}.

В полярній системі координат із віссю z вздовж  \mathbf{L} рівняння руху записуються:

 \frac{\mu (\dot{\rho}^2 + \rho^2 \dot{\varphi}^2)}{2} + U(\rho) = E ,
 \mu \rho^2 \dot{\varphi} = L .

Підставляючи  \dot{\varphi} із другого рівняння в перше, можна знайти залежність  \dot{\rho} від  \rho :

 \dot{\rho}^2 = \frac{2E}{\mu} - \frac{2U(\rho)}{\mu} - \frac{l^2}{\rho^2} ,

де  l = L/\mu .

Кутова швидкість  \dot{\varphi} завжди одного знаку, тобто вектор, що сполучає матеріальні точки, повертається навколо центру мас або тільки за годинниковою стрілкою, або тільки проти годинникової стрілки.

Рівняння

 G(\rho) = \frac{2E}{\mu} - \frac{2U(\rho)}{\mu} - \frac{l^2}{\rho^2} = 0 ,

визначає точки повороту, тобто такі значення віддалі між матеріальними точками, при яких вони припиняють наближатися чи віддалятися одна від іншої. В залежності від поведінки функції  G(\rho) розрізняють три випадки.

  • Фінітний рух виникає тоді, коли  G(\rho) > 0 в певному інтервалі  \rho_1 < \rho < \rho_2 , де  \rho_1  — віддаль максимального зближення,  \rho_2  — віддаль максимального віддалення двох матеріальних точок, відповідно. Фінітний рух відповідає нескінченному обертанню матеріальних точок навколо спільного центру мас, на зразок обертання Землі навколо Сонця.
  • Інфінітний рух виникає тоді, коли  G(\rho) > 0 при  \rho > \rho_1 , де  \rho_1 віддаль максимального збиження матеріальних точок. Інфінітний рух відповідає розсіюванню матеріальних точок одна на одній. Він виникає тоді, коли початкова кінетична енергія відносного руху двох тіл велика, а тому тіла зближаються і розлітаються знову.
  • Падіння на центр відбувається тоді, коли  G(\rho) = 0 тільки в точці  \rho = 0 .

Розв'язок рівняння руху задається неявною функцією віддалі від часу:

 t - t_0= \pm \int\limits_{\rho_0}^\rho \frac{d\rho^\prime}{\sqrt{\frac{2E}{\mu} - \frac{2U(\rho^\prime)}{\mu} - \frac{l^2}{\rho^{\prime 2}}}} .

Траєкторія руху:

 \varphi(\rho) - \varphi_0 = l\mu \int\limits_{\rho_0}^\rho \frac{d\rho^\prime}{\rho^{\prime 2}\sqrt{\mu (E - U(\rho^\prime) - \mu l^2 /2\rho^{\prime 2}}} .

Тут  \rho_0 та  \varphi_0 задають віддаль між матеріальними точками в початковий момент часу та початковий кут. При цьому енергія E та момент імпульсу L також визначаються початковими умовами — положенням точок і початковою кутовою швидкістю.

Потенціал кулонівського типу[ред.ред. код]

Найважливішим для застосувань є потенціал

 U(r) = - \frac{\alpha}{r} ,

де  \alpha  — певний параметр. При  \alpha > 0 потенціал описує притягання, при  \alpha < 0  — відштовхування

Таким потенціалом записується взаємодія масивних тіл за законом всесвітнього тяжіння, а також взаємодія електричних зарядів. У випадку гравітаційної взаємодії матеріальні точки завжди притягаються, у випадку електричної — притягаються або відштовхуються в залежності від знаку зарядів.

Вводячи безрозмірні змінні  \tilde{\rho} = \rho |\alpha|/l^2 \mu ,  \tau = \alpha^2 t/l^3\mu^2 рівняння руху переписуються у вигляді:

 \tilde{\rho}^2 \frac{d\varphi}{d\tau} = 1 ,
 \left( \frac{d\tilde{\rho}}{d\tau} \right)^2 + \tilde{\rho}^2 \frac{d\varphi}{d\tau} + \frac{2}{\tilde{\rho}} = e^2 -1,

де

 e^2 = 1 + \frac{2l^2\mu E}{\alpha^2} .

Інтегрування рівняння траєкторії дає два можливих розв'язки:

 \tilde{\rho} = \frac{1}{1+ e \cos\;(\varphi - \varphi_0)}

та

 \tilde{\rho} = \frac{1}{-1+ e \cos\;(\varphi - \varphi_0)}

Притягання[ред.ред. код]

У випадку притягання траєкторія задається першою із двох формул і, її вигляд залежить від параметра e.

  • При  e > 1 , що відповідає додатньому значенню енергії  E > 0 , траєкторія є гіперболою. У цьому випадку матеріальні точки злітаються і розлітаються — відбувається розсіювання.
  • При  e < 1 , що відповідає від'ємному значенню енергії  E < 0 , траєкторія є еліпсом. Параметр  e  — відіграє роль ексцентриситету. Залежність  \rho від  \varphi періодична.
  • При  e =1 , що відповідає нульовому значенню енергії  E = 0 , траєкторія є параболою.

Закони Кеплера[ред.ред. код]

Докладніше: Закони Кеплера

Експериментально відкриті Кеплером закони руху планет, можна отримати із загального розв'язку у випадку, коли маса однієї з матеріальних точок набагато перевищує масу іншої, наприклад  m_2 \gg m_1 , , як у випадку планет і Сонця. Розглядається випадок гравітаційної взаємодії, коли  \alpha = G m_1 m_2 , де  G  — гравітаційна стала.

  • При  e < 1 траєкторіє є еліпсом з великою піввіссю  a = \frac{|\alpha|}{2|E|} та малою піввіссю  b = l \sqrt{\frac{\mu}{2|E|}} . Еліпсом також є траєкторія кожної із матеріальних точок. Масивніша точка описує менший еліпс, легша — більший. Якщо маса одного з тіл набагато більша від маси іншого, то еліпс масивного тіла зовсім маленький і можна приблизно вважати, що масивне тіло перебуває в фокусі еліпса, який описує легке тіло, що відоповідає першому закону Кеплера.
  • Секторіальна швидкість тіла з масою  m_1 дорівнює:
     \frac{1}{2}\rho_1^2 \frac{d\varphi}{dt} = \frac{1}{2} \frac{m_2^2}{M^2}l = \text{const} .
Звідси другий закон Кеплера — за рівні проміжки часу радіус-вектор планети замітає однакові площі.
  • Період обертання T відповідає зміні кута  \varphi на  2\pi . Інтергуючи рівняння руху, можна отримати
 \int_0^{2\pi} \frac{1}{2} \rho^2 d\varphi = \frac{1}{2} l T .
З іншого боку, ліва частина цієї рівності є площею еліпса і дорівнює  \pi ab \,.
Нескаладні перетворення дають співвідношення
 \frac{a^3}{T^2} = G \frac{m_1+m_2}{4\pi^2} .
Якщо  m_2  — маса Сонця, то масою планети  m_1 в сумі можна знехувати. В такому випадку отримуємо третій закон Кеплера : відношення куба півосі еліпса до квадрата періоду обертання однакове для всіх планет сонячної системи.
 \frac{a^3}{T^2}  = \frac{G M_{\bigodot} }{4\pi^2}

Відштовхування[ред.ред. код]

У випадку відштовхування між матеріальними точками, як наприклад, при взаємодії однойменних електричних зарядів, енергія завжди додатня, а тому траєкторії руху точок є гіперболами, що описуються нижньою з двох формул для  \tilde{\rho}

Залежність координат від часу[ред.ред. код]

Інтегрування рівнянь руху дозволяє знайти не тільки траєкторію матеріальних точок, а й залежність віддалі та кута від часу. Найпростіше ця залежність виглядає в параметричному вигляді.

  • Випадок еліптичних орбіт,  E < 0
 t = \sqrt{\frac{\mu a^3}{|\alpha|}} (\xi - e \sin\,\xi )
 \rho = a(1 - e \cos\,\xi )
Тут відлік часу починається з моменту, коли тіла знаходилися в перигелії.
  • Випадок гіперболічних орбіт,  E < 0 .
 \rho = ae (\text{ch}\, \xi -1)
 t = \sqrt{\frac{\mu a^3}{|\alpha|}} (e \text{sh}\,\xi - \xi )
Параметр  -\infty < \xi < \infty .

Задача двох тіл у загальній теорії відносності[ред.ред. код]

Нормальна орбіта будь-якого тіла, захопленого тяжінням іншого тіла, є еліпсом або колом — саме такі орбіти ми спостерігаємо в Сонячній системі. Проте загальна теорія відносності стверджує, що в околицях вкрай масивних тіл — там, де простір виявляється сильно викривленим завдяки наявності колосального гравітаційного поля — спектр можливих стабільних орбіт значно розширюється. У подібних умовах фізичні об'єкти починають поводитися вельми дивно. Наприклад, тіло може підлетіти до чорної діри по крутій параболі, зробити навколо неї декілька стрімких коротких витків, а потім знову закласти витягнуту петлю — і так далі.

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

  • Єжов С. М., Макарець М. В., Романенко О. В. Класична механіка. — К.: ВПЦ "Київський університет", 2008. — 480 с.
  • Федорченко А. М. Теоретична механіка. — К.: Вища школа, 1975. — 516 с.
  • Голдстейн Г. Классическая механика. — М.: Наука, 1975. — 416 с.
  • Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика // Теоретическая физика. — М.: Физматлит, 2007. — Т. 1. — 224 с.