Задача оптимізації

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Зада́ча оптиміза́ції — задача знаходження точки (точок) мінімуму, або декількох мінімумів заданої функції.

[ред.] Формальне визначення

Нехай задано деяку множину X із n-вимірного евклідового простору і функцію f(x), визначену на X. Необхідно знайти точки мінімуму значень функції f(x) на X. Або:

f(x) → min, x ∈ X.

тут f(x) — цільова функція, X — допустима множина, кожна точка x цієї множини — допустима точка задачі.

Також, задачу оптимізації можна сформулювати як пошук максимуму (максимумів) цільової функції:

f(x) → max, x ∈ X.

ця задача еквівалентна попередній задачі мінімізації цільової функції із знаком мінус, в тому сенсі, що множини їхніх розв'язків збігаються.

[ред.] Розв'язки задачі

Розв'язки задачі можна розділити на дві множини:

глобальні

(глобального мінімуму), це такі допустимі точки x^* в яких цільова функція має найменше значення на всій допустимій області:

f(x^*) ≤ f(x), ∀ x ∈ X;

локальні

(локального мінімуму), це такі допустимі точки x^* в яких цільова функція приймає найменше значення в деякому околі:

f(x^*) ≤ f(x), ∀ x ∈ X ∩ U_ε(x^*),

Де U_ε(x^*) = {x ∈ Rⁿ | ‖x — x^*‖ ≤ ε} — куля радіусу ε в центрі x^*.

[ред.] Дивіться також

• Задача безумовної оптимізації
• Задача умовної оптимізації
• Задача математичного програмування
• Задача опуклого програмування
• Чисельні методи оптимізації

• Безкоштовне програмне забезпечення для розв'язування задач чисельної оптимізації:
  • OpenOpt (Ліцензія BSD, дивіться також вступ українською мовою)

Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.

Ця стаття не містить посилань на джерела. Ви можете допомогти поліпшити цю статтю, додавши посилання на надійні джерела. Матеріал без джерел може бути підданний сумніву та вилучений.