Закон Ампера для циркуляції магнітного поля

Закон Ампера для циркуляції магнітного поля — твердження про те, що інтеграл по замкненому контуру від магнітної індукції пропорційний силі електричному струму, що протікає через площу, обмежену контуром. Закон сформулював у 1826 році Андре-Марі Ампер. У модифікованому вигляді він входить до основних рівнянь електродинаміки.

Наслідком закону Ампера є те, що струми, які протікають за межами контура, не дають внеску в циркуляцію.

Формулювання

Інтегральна форма

У системі одиниць СГС закон Ампера має вигляд:

$\oint_L \mathbf{B} \cdot d \mathbf{l} = \frac{4\pi}{c} \iint_S \mathbf{j} \cdot d\mathbf{S}$,

де $\mathbf{B}$ — магнітна індукція, $\mathbf{j}$ — густина струму, $c$ - швидкість світла.

У СІ :

$\oint_L \mathbf{B} \cdot d \mathbf{l} = \mu_0 \iint_S \mathbf{j} \cdot d\mathbf{S}$,

де $\mu_0$ — магнітна стала.

Закон справедливий для постійних струмів і полів. У разі змінних струмів в формулі з'являється член, пов'язаний із струмом зміщення.

Диференційна форма

В диференційній формі закон Ампера набирає вигляду (СГС):

$\nabla \times \mathbf{B} = \frac{4\pi}{c} \mathbf{j}$

або (СІ)

$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{j}$

Модифікація з врахуванням змінного електричного поля

Змінне електричне поле є додатковим джерелом, що породжує магнітне поле. З його врахуванням закон Ампера змінює форму. Для вакууму він набирає вигляду (СГС):

$\oint_L \mathbf{B} \cdot d \mathbf{l} = \iint_S \left( \frac{4\pi}{c} \mathbf{j} + \frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \right) \cdot d\mathbf{S}$,

де $\mathbf{E}$ — напруженість електричного поля. Величину

$\mathbf{j}_D = \frac{1}{4\pi} \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t},$

де $\mathbf{D}$ - вектор електричної індукції, називають струмом зміщення. Для вакууму $\mathbf{D} = \mathbf{E}$.

У середовищі

Закон Ампера для циркуляції магнітного поля можна використовувати також і для середовища, однак при цьому потрібно враховувати всі струми, які виникають у середовищі. Це не тільки струми вільних зарядів, а струми зарядів, зв'язаних в складі атомів і молекул. Такі струми виникають з двох причин. По-перше, зв'язані електрони в магнітному полі прецесують, створюючи струм намаганіченння, по-друге, у випадку змінного електричного поля, електрони зміщуються відносно йонів, з якими вони зв'язані, створюючи струм поляризації. Враховуючи всі ці струми закон Ампера для середовища, записують в такій формі, щоб у ньому залишилися тільки струми вільних заряджених частинок:

$\oint_L \mathbf{H} \cdot d \mathbf{l} = \iint_S \left( \frac{4\pi}{c} \mathbf{j}_f + \frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} \right) \cdot d\mathbf{S}$,

де $\mathbf{H}$ - напруженість магнітного поля, $\mathbf{j}_f$ — струм вільних зарядів. При цьому внесок струмів намагнічування входить у визначення $\mathbf{H}$, а внесок струмів поляризації — у визначення $\mathbf{D}$.

У диференційній формі закон Ампера набирає вигляду (СГС):

$\nabla \times \mathbf{H} = \frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} + \frac{4\pi}{c} \mathbf{j}_f$

Джерела

• Сивухин Д.В. (1977). Общий курс физики. т III. Электричество. Москва: Наука.