Закон Гука

Коливання гармонічного осцилятора, для якого справедливий закон Гука

Закон Гука встановлює лінійну залежність між деформацією й механічними напруженнями.

Закон Гука справедливий для малих пружних деформацій.

Закон Гука для випадку одновісного напруженого стану

У своїй найпростішій формі закон Гука записується для деформації довгого тонкого стрижня або пружини

$F = - k x$,

де F — сила, k — коефіцієнт жорсткості, х — видовження.

Ця формула не враховує зміни поперечних розмірів стрижня при розтягу. Крім того коефіцієнт жорсткості — це властивість стрижня, а не властивість матеріалу, з якого він виготовлений.

Запис закону Гука через напруження і відносні деформації дає можливість виключити вплив конструктивних особливостей стрижня на вид залежності між силовим параметром і деформацією. Для випадку лінійного навантаження закон Гука має вигляд:

$\sigma = E \frac{\Delta l}{l} = E \epsilon$,

де: σ — механічне напруження, визначається, як сила, що припадає на одиницю площі поперечного перерізу тіла;

$\epsilon = \frac{\Delta l}{l}$ — величина відносної деформації (відносне видовження);

E — модуль Юнга.

Закон Гука для тривимірного напруженого стану

Закон Гука для тривимірного (складного) напруженого стану у випадку ізотропного матеріалу може бути записаний у вигляді системи рівнянь:

для лінійних деформацій

$\epsilon_x = \frac {1} {E} [\sigma_x - \nu(\sigma_y + \sigma_z)]$

$\epsilon_y = \frac {1} {E} [\sigma_y - \nu(\sigma_z + \sigma_x)]$

$\epsilon_z = \frac {1} {E} [\sigma_z - \nu(\sigma_x + \sigma_y)]$

для деформацій зсуву

$\gamma_{xy} = \frac {\tau_{xy}} {G}$

$\gamma_{xz} = \frac {\tau_{xz}} {G}$

$\gamma_{yz} = \frac {\tau_{yz}} {G}$

де:

ε — деформація розтягу-стиску в точці,

σ — напруження розтягу-стиску,

γ — деформація зсуву (кутова) в точці,

τ — напруження зсуву (дотичне напруження) в точці,

G — модуль зсуву,

E — модуль Юнга

$\nu$ — коефіцієнт Пуассона.

Закон можна сформулювати так: компоненти тензора деформації в даній точці тіла знаходяться в лінійній залежності від компонентів тензора напруження тієї ж точки.

Строга форма запису закону Гука

$\sigma_{ik} = \sum_{lm} \lambda_{iklm} \varepsilon_{lm}$,

де $\sigma_{ik}$ — тензор механічних напружень, $\varepsilon_{lm}$ — тензор деформації, а $\lambda_{iklm}$ — тензор чертвертого рангу, який називається тензором модулів пружності і є характеристикою речовини.

Закон Гука був сформульований Робертом Гуком у 1660.

Див. також

Пружність
Пружні сили
Тензор механічних напружень
Тензор деформації
Модулі пружності

Посилання

• Опір матеріалів. Підручник /Г. С. Писаренко, О. Л. Квітка, Е. С. Уманський. За ред. Г. С. Писаренка — К.: Вища школа,1993 .- 655 с. ISBN 5-11-004083-5
• Опір матеріалів: Навч. посіб. для студентів ВНЗ. Рекомендовано МОН / Шваб'юк В. І. — К., 2009. — 380 с.
• Мильніков О. В. Опір матеріалів. Конспект лекцій / Олександр Володимирович Мильніков. − Тернопіль: Видавництво ТНТУ, 2010. − 257 с.

Це незавершена стаття з фізики. Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.