Закон Пуазейля

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Схематичне зображення поля швидкостей для флюїду, що протікає через капіляр. Пропелери вказують завихрення.

Зако́н Пуазе́йля — фізичний закон, що встановлює для ламінарної течії зв'язок між середньою швидкістю протікання рідини (або витратою) через капіляр та в'язкістю флюїду у залежності від перепаду тиску:

 Q = \frac{\pi R^4}{8\eta} \frac{\Delta p}{L},

де Q — об'єм флюїду, що протікає в одиницю часу (об'ємна витрата) через капіляр радіусом R та довжиною L при різниці тисків на кінцях капіляра  \Delta p = p_1 - p_2 ,  \eta  — коефіцієнт динамічної в'язкості.

Формулюється наступним чином:

Об'ємна витрата рідини, що протікає прямолінійною ділянкою труби з круглим перетином сталого діаметру є прямо пропорційною перепаду тиску і четвертому степеню діаметра (радіуса) труби і обернено пропорційною її довжині.

Закон відкрив у 1838 Жан Марі Луї Пуазейль і, незалежно, в 1839 Ґоттгільф Гаґен.

Рівняння також відоме як закон Гаґена-Пуазейля або рівняння Пуазейля.

Основні допущення[ред.ред. код]

При отриманні рівняння закону Пуазейля зроблено такі допущення:

  • потік є ламінарним і одновимірним (має тільки одну компоненту швидкості) у каналі, що має вигляд прямого кругового циліндра або шару між паралельними площинами (ще має назву «потік Пуазейля»);
  • рідина є ідеально в'язкою (ньютонівською) і нестисливою;
  • довжина потоку суттєво більша за його поперечний розмір.

Постановка задачі[ред.ред. код]

Розглядається усталений рух нестисливої рідини з постійною в'язкістю в тонкій циліндричній трубці круглого перерізу під дією постійного перепаду тиску. На основі зроблених вище допущень можна аналітично описати розподіл швидкості у потоці що має параболічний профіль (часто називають «профіль Пуазейля»), а для круглого перерізу розподіл швидкості в залежності від відстані до осі каналу:

v\left(r\right) =\frac{p_1-p_2}{4\eta L}(R^2-r^2),

де

  • v\left(r\right) — швидкість рідини на відстані r від осі труби;
  • R — радіус трубопроводу;
  • p_1-p_2 — різниця тисків на вході і на виході з труби;
  • \eta — в'язкість рідини;
  • L — довжина труби.

Такий же профіль (у відповідних позначеннях) має швидкість при протіканні між двома нескінченними паралельними площинами.

Способи отримання рівняння[ред.ред. код]

Шляхом інтегрування закону розподілу швидкості[ред.ред. код]

Рівняння закону Пуазейля можна отримати шляхом інтегрування по площі перерізу записаного вище рівняння розподілу швидкості в залежності від радіуса для круглоциліндричної труби:

Q= \int\limits_{S} v\left(r\right) dS = 2 \pi \int\limits_0^R v\left(r\right) r dr =\frac{\pi D^4 (p_1-p_2)}{128 \eta L}=\frac{\pi R^4 (p_1-p_2)}{8 \eta L},

где

  • Q — витрата рідини у трубопроводі;
  • D — діаметр трубопроводу.

На основі формули Дарсі-Вейсбаха[ред.ред. код]

Такий же результат можна отримати з феноменологічної формули Дарсі-Вейсбаха, враховуючи вираз для коефіцієнта гідравлічного тертя  \lambda записаного через число Рейнольдса Re

 \lambda = {64\over {\it \mathrm{Re}}}

де число Рейнольдса  \mathrm{Re} = {2\rho V R\over \eta}.

З рівнянь Нав'є-Стокса[ред.ред. код]

Рівняння Пуазейля можна отримати безпосередньо з рівняннь Нав'є-Стокса в циліндричних координатах, зробивши наступний набір припущень:

  1. Потік є стаціонарним ( \partial(...)/\partial t = 0 ).
  2. Радіальна і вихрова компоненти швидкості рівні нулю ( u_r = u_\theta = 0 ).
  3. Потік є осесиметричним ( \partial(...)/\partial \theta = 0 ) і повністю стабілізованим по довжині ( \partial u_z/\partial z = 0 ).

Тоді друге (рівняння кута повороту) з трьох рівнянь Нав'є-Стокса у циліндричних координатах і рівняння неперервності виконуються автоматично. Перше рівняння (рівняння радіуса) спрощується до  \partial p/\partial r = 0 , оскільки, тиск  p є лише функцією осьової координати  z . Третє рівняння зводиться до вигляду:

 \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial u_z}{\partial r}\right)= \frac{1}{\mu} \frac{\partial p}{\partial z} де \mu динамічна в'язкість рідини.

Розв'язок:

 u_z = \frac{1}{4\mu} \frac{\partial p}{\partial z}r^2 + c_1 \ln r + c_2

З граничних умов при  r = 0 ,  c_1 = 0 . За відсутності ковзання на стінці труби  u_z = 0 при  r = R (радіус труби), отримаємо

 c_2 =  -\frac{1}{4\mu} \frac{\partial p}{\partial z}R^2.

Таким чином, отримуємо параболічний закон розподілу швидкості:

 u_z = -\frac{1}{4\mu} \frac{\partial p}{\partial z} (R^2 - r^2).

Максимальна швидкість знаходиться на осі труби ( r=0 ):

 {u_z}_{max}=\frac{R^2}{4\mu} \left(-\frac{\partial p}{\partial z}\right).

Середня швидкість може бути визначена шляхом інтегрування рівняння по площі перерізу:

 {V_z}_\mathrm{cep}=\frac{1}{\pi R^2} \int_0^R u_z \cdot 2\pi r dr = 0.5 {u_z}_\mathrm{max}.

Знаходимо  \Delta p спад тиску на круглій трубі довжиною  L , через середню швидкість потоку в трубі  {V_z}_\mathrm{cep} та інші параметри. Допустивши, що тиск зменшується лінійно по всій довжині труби, тобто  - \frac{\partial p}{\partial z} = \frac{\Delta  p}{L} (constant). Підставивши це і вираз для  {u_z}_\mathrm{max} у рівняння для визначення  {V_z}_\mathrm{cep} та врахувавши, що  D = 2R , отримаємо

 {V_z}_{cep} = \frac{D^2}{32 \mu}  \frac{\Delta P}{L}.

Шляхом незначних перетворень з цього рівняння отрмується рівняння закону Пуазейля.

Електро-гідравлічна аналогія[ред.ред. код]

Закон Пуазейля є аналогом закону Ома для електричних кіл (V = IR), де перепад тиску ΔP виступає аналогом напруги V а об'ємна витрата потоку Q аналогом струму I. Тоді активний опір трубопроводу довжиною L і діаметром D запишеться як:

R = \frac{ 128 \eta L}{\pi D^4}.

Використання[ред.ред. код]

Закон Пуазейля використовують для визначення в'язкості флюїдів. Закон також відіграє важливу роль в таких розділах фізіології, як гемореологія та гемодинаміка.

Джерела[ред.ред. код]

  • Левицький Б. Ф., Лещій Н. П. Гідравліка. Загальний курс. — Львів: Світ, 1994. — 264с. ISBN 5-7773-0158-4
  • Константінов Ю. М., Гіжа О. О. Технічна механіка рідини і газу: Підручник. — К.: Вища школа, 2002. — 277с.:іл. ISBN 966-642-093-7
  • Кулінченко В. Р. Гідравліка, гідравлічні машини і гідропривід: Підручник.-Київ: Фірма «Інкос», Центр навчальної літератури, 2006. — 616с. ISBN 966-8347-38-2
  • Колчунов В. І. Теоретична та прикладна гідромеханіка: Навч. Посібник. — К.:НАУ, 2004. — 336с. ISBN 966-598-174-9

Див. також[ред.ред. код]

Формула Дарсі-Вейсбаха