Закон виключеного третього

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Формула
\rho \lor \sim \rho

Ви́ключеного тре́тього зако́н (поширена лат. назва tertium non datur — «третього не дано») — закон класичної логіки, який полягає в тому, що з двох висловлювань — «А» чи «не А» — одне обов'язково є істинним, тобто два судження, одне з яких є запереченням іншого, не можуть бути одночасно хибними або одночасно істинними.

Закон виключеного третього є одним з основоположних принципів «класичної математики».

З інтуїцистської (і, зокрема, конструктивістської) точки зору, встановлення істинності висловлювання виду «А чи не А» означає або (а) встановлення істинностіA, або (б) встановлення істинності його заперечення \neg A. Оскільки, взагалі кажучи, не існує загального методу, що дозволяє для будь-якого висловлювання за кінцеве число кроків встановити його істинність або істинність його заперечення, закон виключення третього не повинен застосовуватися в рамках інтуїционістського і конструктивного напрямків в математиці як аксіома.

Формулювання[ред.ред. код]

Закон формулюється так: з двох суперечливих суджень про одне і те саме — одне обов'язково істинне, друге хибне; третього бути не може. Людина може бути або доброю, або недоброю, третє виключається. Вперше цей закон сформулював Аристотель. В математичній логіці закон виключеного третього виражається формулою: A \vee\neg A, де \vee — знак диз'юнкції, \neg — знак заперечення. Керуючись даною формулою, можна робити правильні висновки про хибність одного судження на підставі знання про істинність суперечливого йому другого і навпаки. Слід підкреслити, що цей закон, на відміну від закону суперечності, не передбачає жодного третього висловлювання, яке могло би зайняти середнє положення і бути істинним. Так, неможливо уявити в наведеному нами прикладі, щоб існувало якесь судження, щоб для нашого прикладу людина одночасно була б доброю або недоброю.

Інші формулювання[ред.ред. код]

Подібний сенс мають інші логічні закони, багато з яких склалися історично. Зокрема, закон подвійного заперечення і закон Пірса еквівалентні закону виключеного третього. Це означає, що розширення системи аксіом інтуїціонистської логіки будь-яким з цих трьох законів у будь-якому випадку призводить до класичній логіці. І все ж, в загальному випадку, існують логіки, в яких всі три закони нееквівалентні[1].

Історія[ред.ред. код]

Аристотель сформулював закон логіки — закон виключеного третього: «однаковим чином нічого не може бути посередині між двома суперечливими твердженнями, але про один суб'єкт кожен окремий предикат необхідно або заперечувати, або стверджувати». «Закон виключеного третього — це вимога до процесу міркування, з якої випливає, що з двох суперечливих тверджень одне буде обов'язково істинним, а друге буде обов'язково хибним — третього не може бути». Суперечливими називаються твердження, в яких за конкретним предметом думки якась ознака стверджується і тут же заперечується.

Але, в той же час Аристотель висував сумніви, щодо тверджень які використовуються у майбутньому часі не можна застосовувати закон виключеного третього. Наприклад візьмемо два твердження, такі як «Завтра відбудеться бій», та «Завтра не відбудеться бій». Філософ міркував так: «у даний час немає причини ні для того, щоб ця подія відбулася, ні для того, щоб не відбулася». З цього міркування можна зробити висновок, що закон виключеного третього можна застосовувати лише до тверджень які були вжиті у минулому, або вживаються теперішньому часі.

Приклади[ред.ред. код]

Припустимо, що P представляє собою твердження «Сократ смертний». Тоді закон виключення третього для P прийме вигляд: «Сократ смертний або Сократ безсмертний», звідки ясно, що закон відсікає все інші варіанти, при яких Сократ і не смертний і не безсмертний. Останнє — це і є те саме «третє», яке виключається. Набагато більш тонкий приклад застосування закону виключеного третього, який добре демонструє, чому він не є прийнятним з точки зору интуїціонизму, полягає в наступному. Припустимо, що ми хочемо довести теорему, що існують ірраціональні числа a и b, такі що a^b раціонально. Відомо, що \sqrt{2} ірраціональне число. Розглянемо \sqrt{2}^{\sqrt{2}}. Якщо дане число раціонально, то теорема доведена. Інакше візьмемо a=\sqrt{2}^{\sqrt{2}} и b=\sqrt{2}. Тоді

a^b = \left(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\right)^{\sqrt{2}} = \sqrt{2}^{\left(\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}\right)} = \sqrt{2}^2 = 2,

тобто раціональне число. За законом виключеного третього інших варіантів бути не може. Тому, теорема в загальному випадку доведена. Причому доказ дуже простий і елементарний. З іншого боку, якщо взяти інтуїціонистську точку зору і відмовитися від закону виключеного третього, теорема хоча і може бути доведена, але доказ її стає виключно складним.

Ще один приклад. Припустимо ми маємо два судження: «Обвинувачуваний у момент здійснення злочину був осудним» та «Обвинувачуваний у момент здійснення злочину не був осудним» — ми можемо запевняти, що одне з них так або інакше є істинним, тоді друге неодмінно буде хибним. Якщо буде встановлено, що істинним є перше судження, то друге буде обов'язково хибним, а якщо істинним визнане друге судження, то перше буде неодмінно хибним, третє у цьому випадку виключається.

Застосування[ред.ред. код]

Застосування закону виключеного третього як вихідного принципу логічної системи перетворює її на двозначну логіку. В багатозначних системах логіки (див. Багатозначна логіка) цей закон місця не має.

Критика[ред.ред. код]

Багато сучасних логічних систем замінюють закон виключеного третього на концепцію «заперечення як відмова[en]». Замість припущення, що твердження або є істинним або хибним, припускають, що твердження є або істинним, або не можна довести істинність. Ці два дихотомії відрізняються тільки в логічних системах, які не є повними. Принцип заперечення як провал широко використовується у логічному програмуванні. У цій системі, програміст може стверджувати закон виключеного третього, як істинний насправді, але це не вбудовано апріорі в цих системах.

Математики, такі як Ян Брауер та Аренд Гейтінг[en] також оскаржували корисність закону виключеного третього в контексті сучасної математики.[2]

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Парасофізм / С. С. Яценко. — К.: Видавничий дім «Руське слово», 2011. — 84 с.

Примітки[ред.ред. код]

  1. Zena M. Ariola and Hugo Herbelin. Minimal classical logic and control operators. In Thirtieth International Colloquium on Automata, Languages and Programming, ICALP'03, Eindhoven, The Netherlands, June 30 — July 4, 2003, volume 2719 of Lecture Notes in Computer Science, pages 871–885. Springer-Verlag, 2003.[1]
  2. «Proof and Knowledge in Mathematics» by Michael Detlefsen