Замкнена множина

За́мкнені мно́жини в математичному аналізі та функціональному аналізі — задається як доповнення до деякої відкритої множини.

Зміст

Нехай дано топологічний простір $(X,\mathcal{T})$ . Множина $V \subset X$ називаєтся замкненою відносно топології $\mathcal{T}$ , якщо існує відкрита множина $U \in \mathcal{T},$ така що $V = X \setminus U.$

Весь простір $X$ , а також порожня множина $\emptyset$ завжди замкнені.
Інтервал $[a,b] \subset \R$ замкнений в стандартній топології на дійсній прямій, бо його доповнення відкрите.
Множина $\Q \cap [0,1]$ замкнена в просторі раціональних чисел $\Q$ , але не замкнене в просторі всіх дійсних чисел $\R$ .

Із аксіом означення топології випливає:

Інші властивості:

множина може бути ні закритою ні відкритою одночасно, як наприклад напіввідкритий інтервал в $\mathbb{R}$ , $[a, b)$ (при стандартній топології на $\mathbb{R}$ )
множина може бути і відкритою і закритою водночас - такими є всі підмножини в дискретній топології(де топологія - набір всіх підмножин даної множини)

С. Т. Завало. Елементи аналізу. Алгебра многочленів. (1972), Київ: Радянська школа.
Фихтенгольц. Основы математического анализа (1954), Москва: Радянська школа.
R.Wald, General Relativity