Замкнута множина
Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
(Перенаправлено з Замкнена множина)
За́мкнута мно́жина — доповнення до деякої відкритої множини.
Зміст |
[ред.] Означення
Нехай дано топологічний простір
. Множина
називаєтся замкнутою відносно топології
, якщо існує відкрита множина
така що 
[ред.] Приклади
- Весь простір
, а також порожня множина
завжди замкнуті. - Інтервал
замкнутий в стандартній топології на дійсній прямій, бо його доповнення відкрите. - Множина
замкнута в просторі раціональних чисел
, але не замкнута в просторі всіх дійсних чисел
.
[ред.] Властивості
Із аксіом означення топології випливає:
- перетин будь-якого набору замкнутих множин є замкнутою множиною
- об'єднання скінченної кількості замкнутих множин є замкнутою множиною
Інші властивості:
- множина може бути ні замкнутою ні відкритою одночасно, як наприклад напіввідкритий інтервал в
,
(при стандартній топології на
) - множина може бути і відкритою і замкнутою водночас — такими є всі підмножини в дискретній топології (де топологія — набір всіх підмножин даної множини)
[ред.] Див. також
[ред.] Література
- А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин Элементы теории функций и функционального анализа.. — Москва : «Наука» , 1989.
- С. Т. Завало Елементи аналізу. Алгебра многочленів.. — Київ : Радянська школа , 1972.
- Фихтенгольц Основы математического анализа. — Москва : Радянська школа , 1954.
, а також
завжди замкнуті.
замкнутий в стандартній
замкнута в просторі
, але не замкнута в просторі всіх
.
,
(при