Замкнута множина

За́мкнута мно́жина — підмножина простору доповнення до якої відкрита.

Означення

Нехай дано топологічний простір $(X,\mathcal{T})$. Множина $V \subset X$ називаєтся замкнутою відносно топології $\mathcal{T}$, якщо існує відкрита множина $U \in \mathcal{T},$ така що $V = X \setminus U.$

Приклади

• Весь простір $X$, а також порожня множина $\emptyset$ завжди замкнуті.
• Інтервал $[a,b] \subset \R$ замкнутий в стандартній топології на дійсній прямій, бо його доповнення відкрите.
• Множина $\Q \cap [0,1]$ замкнута в просторі раціональних чисел $\Q$, але не замкнута в просторі всіх дійсних чисел $\R$.

Властивості

Із аксіом означення топології випливає:

• перетин будь-якого набору замкнутих множин є замкнутою множиною
• об'єднання скінченної кількості замкнутих множин є замкнутою множиною

Інші властивості:

• множина може бути ні замкнутою ні відкритою одночасно, як наприклад напіввідкритий інтервал в $\mathbb{R}$, $[a,b)$ (при стандартній топології на $\mathbb{R}$)
• множина може бути і відкритою і замкнутою водночас — такими є всі підмножини в дискретній топології (де топологія — набір всіх підмножин даної множини)

Див. також

• Відкрита множина
• Замикання (топологія)

Література

1. А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин (1989). Элементы теории функций и функционального анализа. Москва: «Наука». 
2. С. Т. Завало (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа. 
3. Фихтенгольц (1954). Основы математического анализа. Москва: Радянська школа.