Замкнутий многовид

Реалізація пляшки Клейна у вигляді «вісімки».

Замкнутий многовид у топології — компактниий зв'язаний многовид без границі. Прикладами замкнутих многовидів є коло, сфера, проективна площина, тор, пляшка Клейна тощо.

Властивість компактності означає на інтуїтивному рівні скінченність, обмеженість. Числова пряма не є замкнутим многовидом, оскільки вона некомпактна. З іншого боку, відрізок та диск теж не є замкнутими многовидами, оскільки вони мають границю.

Поняття замкнутого многовиду треба відрізняти від поняття замкнутої множини. Наприклад відрізок із кінцями є замкнутою множиною, але не є замкнутим многовидом. Коли говорять про замкнутий всесвіт мають на увазі замкнутість його як многовиду.

Дійсні замкнуті многовиди характеризуються числом Понтрягіна, яке приймає тільки раціональні значення. Нехай M є 4n-вимірний гладкий замкнутий многовид і $\omega=\{k_1,k_2,\dots,k_m\}$ ― розбиття числа $n$, тобто набір натуральних чисел, таких что $k_1+k_2+\cdots+k_m=n$.

Раціональне число

$P_{\omega}=p_{k_1}\cup p_{k_2}\cup \cdots\cup p_{k_m}([M])$

називається числом Понтрягіна многовиду M за розбиттям $\omega$, тут $p_i$ позначають класи Понтрягіна.

Див. також

• Многовид
• Компактний простір
• Зв'язаний простір

Література

• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — М.: Наука, 1980. — 976 с., ил.