Замкнутий многовид

Реалізація пляшки Клейна у вигляді «вісімки».

Замкнутий многовид у топології — компактний зв'язаний многовид без межі. Прикладами замкнутих многовидів є коло, сфера, проективна площина, тор, пляшка Клейна тощо.

Властивість компактності означає на інтуїтивному рівні скінченність, обмеженість. Числова пряма не є замкнутим многовидом, оскільки вона некомпактна. З іншого боку, відрізок та диск теж не є замкнутими многовидами, оскільки вони мають межу.

Поняття замкнутого многовиду треба відрізняти від поняття замкнутої множини. Наприклад відрізок із кінцями є замкнутою множиною, але не є замкнутим многовидом. Коли говорять про замкнутий всесвіт мають на увазі замкнутість його як многовиду.

Дійсні замкнуті многовиди характеризуються числом Понтрягіна, яке приймає тільки раціональні значення. Нехай M є 4n-вимірний гладкий замкнутий многовид і $\omega =\{k_{1},k_{2},\dots ,k_{m}\}$ ― розбиття числа $n$, тобто набір натуральних чисел, таких что $k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n$.

Раціональне число

$P_{\omega }=p_{k_{1}}\cup p_{k_{2}}\cup \cdots \cup p_{k_{m}}([M])$

називається числом Понтрягіна многовиду M за розбиттям $\omega$, тут $p_{i}$ позначають класи Понтрягіна.

Див. також

• Многовид
• Зв'язаний простір
• Компактний простір

Література

• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — М.: Наука, 1980. — 976 с., ил.