Заперечення

Заперечення в логіці — унарна операція над судженнями, результатом якої є судження (у відомому сенсі) «протилежне» початковому. Позначається знаком ¬

Як в класичній, так і в інтуїціоністській логіці «подвійне заперечення» ¬¬A є наслідком судження A, тобто має місце тавтологія: $A \rightarrow \neg \neg A$.

В класичній логіці заперечення зазвичай інтерпретують як функцію, що переводить істину в хибність і навпаки. А в інтуїціоністській логіці зазвичай під запереченням твердження $P$ приймається спростування $P$. Обернене твердження $\neg \neg A \rightarrow A$ вірно в класичній логіці (закон подвійного заперечення), але не має місця в інтуїціоністській. Тобто, заперечення заперечення шуканого твердження не може бути інтуїціоністським доказом, на відміну від класичної логіки. Цю відмінність двох логічних систем зазвичай розуміють головною.

У логіці і математиці заперечення ще називається логічним доповненням. Це операція на пропозиції, істинності значення, або семантичні значення в цілому. Інтуїтивно зрозуміло, що заперечення вірне, коли твердження є хибним, і навпаки. У класичній логіці заперечення, як правило, ототожнюється з істиною функції, яка приймає істину хибністю і навпаки. У семантиці Кріпке, заперечення - це теоретико-множинне доповнення.

Визначення

Класичне заперечення - це операція на одне логічне значення, як правило, значення пропозиції, яке виробляє значення істини, якщо його операнд є хибним, і помилкове значення, якщо його операнд є істинним. Таким чином, якщо судження вірно, то ¬ A (вимовляється як "не А"), буде помилковим, і навпаки.

Таблиця істинності ¬p

p	¬p
Правда	Неправда
Неправда	Правда

Класичне заперечення може бути визначене в термінах інших логічних операцій. Наприклад, ¬ р може бути визначене як р → F, де "→" є логічним наслідком і F - це абсолютна хибність. І навпаки, можна визначити як F & P ¬ р для будь-яких р пропозицій, де "&" є логічне множення. Ідея полягає в тому, що будь-яка суперечність є хибна. Також ми отримаємо подальшу ідентичність: P → Q може бути визначене як ¬ P ∨ Q, де "∨" є логічне додавання: "Не р або q". Алгебраїчно, класичне заперечення відповідає доповненню в булевій алгебрі. Ця алгебра забезпечує семантику для класичної логіки.

Позначення

Заперечення висловлювання р є зафіксованим по-різному в різних контекстах обговорення та області застосування. Серед цих варіантів є наступні:

Позначення	Вимовлення
¬p	не p
−p	не p
~p	не p
$p'\!$	p просте число, p доповнення
$!p\!$	не p

В теорії множин також використовується для позначення 'не є членом': U \ A, де U не є членом А. Незалежно від того, чи є він зафіксованим або символом, заперечення ¬ р /-р може бути прочитане як "це не той випадок, що р", "не те, що р", або зазвичай простіше (хоча і не граматично) як "не р" .

Книжки

• Gabbay, Dov, and Wansing, Heinrich, eds., 1999. What is Negation?, Kluwer.
• Horn, L., 2001. A Natural History of Negation, University of Chicago Press.
• G. H. von Wright, 1953–59, "On the Logic of Negation", Commentationes Physico-Mathematicae 22.
• Wansing, Heinrich, 2001, "Negation," in Goble, Lou, ed., The Blackwell Guide to Philosophical Logic, Blackwell.

Див. також

• Імплікація
• Логічна еквівалентність
• Виключна диз'юнкція

Посилання

• Weisstein, Eric W. Заперечення(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.