Заперечення

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Заперечення в логіці — унарна операція над судженнями, результатом якої є судження (у відомому сенсі) «протилежне» початковому. Позначається знаком ¬

Як в класичній, так і в інтуїціоністській логіці «подвійне заперечення» ¬¬A є наслідком судження A, тобто має місце тавтологія:  A \rightarrow \neg \neg A .

В класичній логіці заперечення зазвичай інтерпретують як функцію, що переводить істину в хибність і навпаки. А в інтуїціоністській логіці зазвичай під запереченням твердження P приймається спростування P. Обернене твердження  \neg \neg A \rightarrow A вірно в класичній логіці (закон подвійного заперечення), але не має місця в інтуїціоністській. Тобто, заперечення заперечення шуканого твердження не може бути інтуїціоністським доказом, на відміну від класичної логіки. Цю відмінність двох логічних систем зазвичай розуміють головною.

У логіці і математиці заперечення ще називається логічним доповненням. Це операція на пропозиції, істинності значення, або семантичні значення в цілому. Інтуїтивно зрозуміло, що заперечення вірне, коли твердження є хибним, і навпаки. У класичній логіці заперечення, як правило, ототожнюється з істиною функції, яка приймає істину хибністю і навпаки. У семантиці Кріпке, заперечення - це теоретико-множинне доповнення.

Множиною істини заперечення судження є доповнення множини істини самого судження до універсальної множини, з якої вибираються елементи.

Визначення[ред.ред. код]

Класичне заперечення - це операція на одне логічне значення, як правило, значення пропозиції, яке виробляє значення істини, якщо його операнд є хибним, і помилкове значення, якщо його операнд є істинним. Таким чином, якщо судження вірно, то ¬ A (вимовляється як "не А"), буде помилковим, і навпаки.

Таблиця істинності ¬p
p ¬p
Правда Неправда
Неправда Правда

Класичне заперечення може бути визначене в термінах інших логічних операцій. Наприклад, ¬ р може бути визначене як р → F, де "→" є логічним наслідком і F - це абсолютна хибність. І навпаки, можна визначити як F & P ¬ р для будь-яких р пропозицій, де "&" є логічне множення. Ідея полягає в тому, що будь-яка суперечність є хибна. Також ми отримаємо подальшу ідентичність: P → Q може бути визначене як ¬ P ∨ Q, де "∨" є логічне додавання: "Не р або q". Алгебраїчно, класичне заперечення відповідає доповненню в булевій алгебрі. Ця алгебра забезпечує семантику для класичної логіки.

Позначення[ред.ред. код]

Заперечення висловлювання р є зафіксованим по-різному в різних контекстах обговорення та області застосування. Серед цих варіантів є наступні:

Позначення Вимовлення
¬p не p
p не p
~p не p
p'\! p просте число,
p доповнення
!p\! не p

В теорії множин також використовується для позначення 'не є членом': U \ A, де U не є членом А. Незалежно від того, чи є він зафіксованим або символом, заперечення ¬ р /-р може бути прочитане як "це не той випадок, що р", "не те, що р", або зазвичай простіше (хоча і не граматично) як "не р" .

Книжки[ред.ред. код]

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]