Збіжність за Борелем

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Збіжність за Борелем — узагальнення поняття збіжності ряду, запропоноване французьким математиком Емілем Борелем. Загалом існує два нееквівалентні визначення, які пов'язують з іменем Бореля.

Визначення[ред.ред. код]

\lim_{x \to \infty} e^{-x} \sum_{k=0}^\infty k^2 \frac{x^k}{k!}S_k = S, де Sk — часткові суми ряду. Число S тоді називається борелівською сумою ряду.
  • Нехай дано числовий ряд \sum_{n=0}^\infty a_n. Ряд називається збіжним за Борелем (або B'-збіжним), якщо існує інтеграл:
\int_0^\infty dt e^{-t}\sum_n\frac{a_n}{n!}t^n = S

Приклад[ред.ред. код]

Розглянемо ряд \sum_0^\infty n!x^n. Цей ряд є розбіжним для довільного x\neq 0. Проте за інтегральним визначенням збіжності за Борелем маємо:

\sum_0^\infty n!x^n=\int_0^\infty dt e^{-t}\sum_{n=0}^\infty (xt)^n =\int _0^\infty dt\frac{e^{-t}}{1-xt},

і сума є визначеною для від'ємних значень x.

Властивості[ред.ред. код]

Нехай функція:

f(z) = \sum_{k = 0}^\infty a_k z^{k}

регулярна в нулі і Смножина всіх її особливих точок. Через кожну точку P \in C проведемо відрізок OP\, і пряму L_p\,, що проходить через точку Р перпендикулярно до OP\,. Множина точок, що лежать по одну сторону з нулем для кожної з прямих L_p\,, позначимо \Pi \,. Тоді межа \Gamma\, області \Pi \, називається многокутником Бореля функції f(z), а область \Pi \, її внутрішньою областю. Справедлива теорема: ряд

 \sum_{k = 0}^\infty a_k z^{k}

є B-збіжним в області \Pi \, і не є B-збіжним в області \Pi^* \, — доповненні до \Pi \, .

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]