Зведена маса

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Reduced mass.png

Зведена маса - міра інерційності відносного руху матеріальних точок. Ця величина дозволяє звести задачу двох тіл до задачі одного тіла.

Зазвичай позначається літерою μ і має розмірність маси.

Зведена маса двох тіл із масами  m_1 \, та  m_2 \, дорівнює

 \mu = \frac{m_1m_2}{m_1 + m_2}.

Зведена маса менша за масу обох тіл.

Виведення[ред.ред. код]

Рівняння можна отримати таким чином.

Ньютонова механіка[ред.ред. код]

Використовуючи другий закон Ньютона, сила з якою тіло 2 діє на тіло 1 є

\bold{F}_{12} = m_1 \bold{a}_1. \!\,

Сила з якою тіло 1 діє на тіло 2 є

\bold{F}_{21} = m_2 \bold{a}_2. \!\,

Згідно з третім законом Ньютона, ці сили рівні за модулем і протилежні за напрямком:

\bold{F}_{12} = - \bold{F}_{21}.\!\,

Отже,

m_1 \bold{a}_1 = - m_2 \bold{a}_2. \!\,
\bold{a}_2=-{m_1 \over m_2} \bold{a}_1. \!\,

Відносне прискорення arel між двома тілами задане як

\bold{a}_{\rm rel}= \bold{a}_1-\bold{a}_2 = \left(1+\frac{m_1}{m_2}\right) \bold{a}_1 = \frac{m_2+m_1}{m_1 m_2} m_1 \bold{a}_1 = \frac{\bold{F}_{12}}{m_{\rm red}}.

Отже ми можемо дійти висновку, що тіло 1 рухається щодо позиції тіла 2 як тіло тіло маса якого дорівнює зведеній масі.

Механіка Лагранжа[ред.ред. код]

Докладніше: Механіка Лагранжа

Інакше, опис Лагранжа задачі двох тіл дає Лагранжіан

L = {1 \over 2} m_1 \mathbf{\dot{r}}_1^2 + {1 \over 2} m_2 \mathbf{\dot{r}}_2^2 - V(| \mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2 | ) \!\,

де r це вектор позиції маси mi (частинки i). Потенціальна енергія V це функція яка залежить лише від відстані між двома частинками. Якщо ми визначимо

\mathbf{r} = \mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2

і покладемо початок координат в одну точку з центром мас, тобто

 m_1 \mathbf{r}_1 + m_2 \mathbf{r}_2 = 0 ,

тоді

 \mathbf{r}_1 = \frac{m_2 \mathbf{r}}{m_1 + m_2} , \mathbf{r}_2 = \frac{-m_1 \mathbf{r}}{m_1 + m_2}.

Тепер, підставляючи, отримуємо новий Лагранжіан

 L = {1 \over 2}\mu \mathbf{\dot{r}}^2 - V(r),

де

\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}

є зведеною масою. Отже, ми звели задачу двох тіл до задачі з одним тілом.

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

  • Федорченко А.М. (1975). Теоретична механіка. Київ: Вища школа. , 516 с.


Фізика Це незавершена стаття з фізики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.