Згинаний багатогранник

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Багатогранник (точніше — багатогранна поверхня) називається згинаною, якщо її просторову форму можна змінити такою безперервної в часі деформацією, при якій кожна грань не змінює своїх розмірів (тобто рухається як тверде тіло), а деформація здійснюється тільки за рахунок безперервної зміни двогранних кутів. Така деформація називається безперервним згинанням багатогранника.

Властивості та приклади[ред.ред. код]

У теорії згинаних багатогранників відомо чимало красивих і нетривіальних тверджень. Нижче наведені найбільш важливі з встановлених на сьогодні фактів, дотримуючись хронологічного порядку:

  1. Ніякий опуклий багатогранник не може згинатись. Це негайно випливає з теореми Коші про однозначну визначеність опуклого багатогранника, доведену в 1813 році.
  2. Перші приклади згинаних багатогранників були побудовані бельгійським інженером і математиком Раулем Брікаром в 1897 році[1]. Зараз їх називають октаедрами Брікара. Вони не тільки неопуклі, але й мають самоперетини, що не дозволяє побудувати їх картонну модель, що рухається.
  3. У 1976 році американський математик Роберт Коннеллі вперше побудував згинаний багатогранник без самоперетину[2].
  4. З усіх відомих на сьогоднішній день згинаних багатогранників без самоперетинів найменше число вершин (дев'ять) має багатогранник, побудований німецьким математиком Клаусом Штеффеном(нім. Klaus Steffen) [3].
  5. Відомі приклади згинаних багатогранників, які є реалізаціями тора[4] або пляшки Клейна, або взагалі двовимірної поверхні будь-якого топологічного роду.
  6. З формули Шлефлі випливає, що будь згинаний багатогранник в процесі згинання зберігає так звану інтегральну середню кривину, тобто число, рівне \sum |\ell|(\pi-\alpha(\ell)), де |\ell| — довжина ребра ~\ell, ~\alpha(\ell) — величина внутрішнього двогранного кута при ребрі ~\ell, а сума поширюється на всі ребра багатогранника. Див також[5].
  7. Теорема Сабітова[6]: Будь-який згинаний багатогранник в процесі згинання зберігає свій об'єм, тобто він буде згинатися навіть якщо його заповнити нестисливої ​​рідиною.

Гіпотези[ред.ред. код]

Незважаючи на значний прогрес, в теорії згинаних багатогранників залишається багато невирішених проблем. Ось кілька відкритих гіпотез:

  1. Багатогранник Штеффена має найменше число вершин серед усіх згинаних багатогранників, що не мають самоперетинів[7];
  2. Якщо один багатогранник, який не має самоперетинів, отриманий з іншого багатогранника, який також не має самоперетинів, безперервним згинанням, то ці багатогранники рівноскладені, тобто перший можна розбити на кінцеве число тетраедрів, кожен з цих тетраедрів незалежно від інших можна пересунути в просторі і отримати розбиття другого багатогранника[8].

Узагальнення[ред.ред. код]

Все сказане вище відносилося до многогранників в тривимірному евклідовому просторі. Однак дане вище визначення згинаного багатогранника можна застосувати і до багатовимірних просторів і до неевклідових просторів, таких як сферичний простір і простір Лобачевського. Для них також відомі як нетривіальні теореми, так і відкриті запитання. Наприклад:

  1. Доведено, що в чотиривимірному евклідовому просторі, просторі Лобачевського розмірності 3 та 4, а також в сферичному просторі розмірності 3 та 4 є згинані багатогранники[9], в той час як існування згинаних багатогранників в евклідових просторах розмірності 5 і вище залишається відкритим питанням ;
  2. Доведено, що будь-який згинаний багатогранник в евклідовому просторі розмірності 3 і вище зберігає свою інтегральну середню кривину в процесі згинання[5], але невідомо чи всякий згинаний багатогранник в евклідовому просторі розмірності 4 і вище зберігає свій об'єм в процесі згинання;
  3. Доведено, що в тривимірному сферичному просторі існує згинаний багатогранник, обсяг якого непостійний у процесі згинання[10], але не відомо чи обов'язково зберігається обсяг згинаного багатогранника в тривимірному просторі Лобачевського.

Зроби сам[ред.ред. код]

Зробити модель згинаного багатогранника Штеффена зовсім не важко. Опишемо це процес крок за кроком.

  • Збережіть файл з розгорткою багатогранника Штеффена з наведеної вище «галереї зображень».
  • Збільшите розгортку в 2-3 рази і роздрукуйте його на принтері (при цьому бажано використовувати щільний папір або напівкартон).
  • Виріжте розгортку по контуру, що складається з червоних, синіх і чорних (суцільних і пунктирних) відрізків.
  • Кілька разів перегніть папір по суцільним і пунктирним відрізкам, що залишилися на розгортці. Виконуючи наступні дії слід надавати поверхні таку форму, щоб суцільні відрізки були «гірськими хребтами» (тобто виступали з багатогранника назовні), а пунктирні відрізки були «долинами» (тобто вдавалися б всередину багатогранника).
  • Зігніть поверхню в просторі і склейте між собою кожні два чорних відрізка, з'єднаних на розгортці зеленої дугою кола.
  • Склейте між собою два синіх відрізка.
  • Склейте між собою два червоних відрізка.

Модель багатогранника Штеффена готова.

Популярна література[ред.ред. код]

Наукова література[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. R. Bricard. Mémoire sur la théorie de l'octaèdre articulé. J. Math. Pures Appl. 1897. 3. P. 113–150 (див. також англійський переклад).
  2. R. Connelly, The rigidity of polyhedral surfaces, Math. Mag. 52 (1979), no. 5, 275–283.
  3. М. Берже, Геометрия. М.: Мир, 1984. Т. 1. С. 516–517.
  4. В. А. Александров, Новий приклад згинаного багатогранника, Сиб. мат. журн. 1995. Т. 36, No 6. С. 1215–1224.
  5. а б R. Alexander, Lipschitzian mappings and total mean curvature of polyhedral surfaces. I, Trans. Amer. Math. Soc. 1985. Vol. 288, no. 2, 661–678.
  6. І. Х. Сабітов, Обсяг багатогранника як функція довжин його ребер, Фундам. прикл. матем. 1996. Т. 2, № 1. С. 305–307.
  7. И. Г. Максимов, Неизгибаемые многогранники с малым количеством вершин, Фундам. прикл. матем. 2006. Т. 12, No. 1. С. 143–165.
  8. Див. с. 231 книги под ред. А. Н. Колмогорова і С. П. Новикова: Исследования по метрической теории поверхностей. М.: Мир. 1980. На англійський мові ця гіпотеза була уперше опублікована у статті R. Connelly, The rigidity of polyhedral surfaces, Math. Mag. 1979. Vol. 52. P. 275–283.
  9. H. Stachel, Flexible octahedra in the hyperbolic space, у книзі под ред. A. Prékopa: Non-Euclidean geometries. János Bolyai memorial volume. Papers from the international conference on hyperbolic geometry, Budapest, Hungary, July 6—12, 2002. New York, NY: Springer. Mathematics and its Applications 581, 209–225 (2006).
  10. V. Alexandrov, An example of a flexible polyhedron with nonconstant volume in the spherical space, Beitr. Algebra Geom. 38, No.1, 11—18 (1997). ISSN 0138-4821.