Згортка Діріхле

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В математиці, згортка Діріхлебінарна операція визначена для арифметичних функцій, що широко використовується в теорії чисел. Названа на честь німецького математика Діріхле.

Визначення[ред.ред. код]

Якщо ƒ і g — арифметичні функції, можна визначити нову арифметичну функцію ƒ * g, згортку Діріхле функційƒ і g,

(f*g)(n) = \sum_{d\,\mid \,n} f(d)g(n/d) \,

де сума береться по всіх дільниках d числа n.

Приклади[ред.ред. код]

Приклад 1[ред.ред. код]

Визначимо функцію E_0 наступним чином:

 E_0(n) = \left\{ \begin{matrix} 
1,  & n = 1, \\
0,  & n > 1. \end{matrix} \right.

Визначимо тепер згортку Діріхле функції E_0 і деякої арифметичної функції f:


\begin{align}
(E_0*f)(n) & = \sum_{d|n, d>0} {E_0(d) f(n/d)}\, \\
& = E_0(1)f(n) + \sum_{d|n, d>1} {E_0(d) f(n/d)}\, \\
& = 1 \cdot f(n) + \sum_{d|n, d>1} {0 \cdot f(n/d)}\, \\
& = f(n) + 0 = f(n). \\
\end{align}

Приклад 2[ред.ред. код]

Нехай функції f і g визначені наступним чином:

f(n)=n\,\!
g(n)=n^2.\,\!

Знайдемо значення згортки Діріхле для аргументу n=10:


\begin{align}
(f*g)(10) & = \sum_{d|10, d>0} {f(d) g(10/d)}\, \\
& = f(1) \cdot g(10) + f(2) \cdot g(5) + f(5) \cdot g(2) + f(10) \cdot g(1) \\
& = 1 \cdot 10^2 + 2 \cdot 5^2 + 5 \cdot 2^2 + 10 \cdot 1^2 \\
& = 100 + 50 + 20 + 10 = 180. \\
\end{align}

Властивості[ред.ред. код]

Множина арифметичних функцій утворює комутативне кільце, щодо операцій поточкового додавання і згортки Діріхле, де мультиплікативною одиницею є функція δ, що визначається δ(n) = 1 якщо n = 1 і δ(n) = 0, якщо n > 1.

Оборотними елементами цього кільця є арифметичні функції f для яких f(1) ≠ 0. Згортка Діріхле задовольняє такі властивості:

Згортка Діріхле двох мультиплікативних функцій є мультиплікативною функцією. Кожна мультиплікативна функція має обернену Діріхле, що теж є мультиплікативною функцією.

Обертання Діріхле[ред.ред. код]

Для арифметичної функції ƒ, рекурсивна формула для обчислення оберненої Діріхле має вигляд:

f^{-1}(1) = \frac {1}{f(1)}

для n > 1,

f^{-1}(n) = \frac {-1}{f(1)}\sum_{d\,\mid \,n,\ d < n}
f\left(\frac{n}{d}\right) f^{-1}(d).

Коли ƒ(n) = 1 для всіх n, тоді оберненою функцією є ƒ −1(n) = μ(n) — функція Мебіуса.

Ряди Діріхле[ред.ред. код]

Якщо f — арифметична функція, відповідні їй ряди Діріхле визначаються формулою


DG(f;s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)}{n^s}

для тих комплексних аргументів s для яких ряд збігається.При цьому виконується рівність:


DG(f;s) DG(g;s) = DG(f*g;s)\,

для всіх s для яких обидва ряди зліва є збіжними, причому принаймні один абсолютно.

Література[ред.ред. код]

  • Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3
  • Hugh L. Montgomery; Robert C. Vaughan (2007). Multiplicative number theory I. Classical theory. Cambridge tracts in advanced mathematics. 97. Cambridge: Cambridge Univ. Press. ISBN 0-521-84903-9.