Згортка тензора

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Згортка в тензорному численні — операція пониження валентності тензора на 2, котра переводить тензор валентності (m, n) в тензор валентності (m-1, n-1). В координатах вона записується таким чином:

{T_{j_1 \dots \underline{j_0} \dots, j_n}}^{i_1 \dots \underline{i_0} \dots, i_n} \rightarrow {T_{j_1 \dots, j_n}}^{i_1 
\dots, i_n} = {T_{j_1 \dots \underline{i_0} \dots, j_n}}^{i_1 \dots \underline{i_0} \dots, i_n} де застосовано правило сумування Ейнштейна за різноваріантними індексами, що повторюються.

Часто операцію згортки проводять над тензорами, що є добутками тензорів. Наприклад, A^i_j B^j_k є запис звичайного множення матриці А на матрицю B (тобто  \sum_{j=1}^N A_{ij} B_{jk}).

У випадку евклідового простору в ортогональній системі віднесення різниця між ко- і контраваріантними компонентами тензорів зникає, і згортку можна вести за будь-якими двома індексами. Проте, при роботі в криволінійних або косокутних координатах згортка знов визначається тільки у випадку, якщо один з індексів підсумовування верхній, а інший нижній. В метричному просторі ко- і контраваріантні індекси можна однозначно переводити один в одного, тому при використанні метричного тензора згортку можна вести також за будь-якою парою індексів.

Згортка тензора за парою індексів, за яких він анти(косо)симетричний, дає нульовий тензор.