Зовнішня алгебра

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Зо́внішня а́лгебра (алгебра Грассмана) — алгебраїчна система, що є узагальненням векторного добутку для лінійних просторів довільної розмірності. Вперше введена Грассманом.

Вводить асоціативну, білінійну та антикомутативну операцію зовнішнього добутку (позначається знаком \wedge).

Визначення[ред.ред. код]

Зовнішня алгебра векторного простору \ V над полем \mathbb{K}, це асоціативна алгебра над \mathbb{K}, для якої виконується:

u \wedge v = - v \wedge u \quad \forall u,v\in V
u \wedge u = 0 \quad \forall u\in V
u \wedge k = k \wedge u, \quad k \in \mathbb{K}.

Зовнішня алгебра позначається як \ \bigwedge(V) і не залежить від вибору базиса.

Зв'язані визначення[ред.ред. код]

  • Для r=\overline{0,n} підпростір \ \bigwedge^r(V), з елементів виду e_{i_1} \wedge ...\wedge e_{i_r}, називається \ r-им зовнішним ступенем простору \ V.
  • Простір \ \bigwedge(V) є прямою сумою підпросторів виду \ \bigwedge^r(V):
\bigwedge(V) = \bigwedge^0(V) \oplus \bigwedge^1(V) \oplus \bigwedge^2(V) \oplus \cdots \oplus \bigwedge^n(V)

Властивості[ред.ред. код]

\operatorname{dim}\bigwedge^r(V)=C^r_n

Приклади[ред.ред. код]

.

Якщо є декартова площина {\mathbb{R}}^2 з ортонормованим базисом: \mathbf{e_1} = (1,0), \quad \mathbf{e_2} = (0,1).

Нехай

\mathbf{v} = a \mathbf{e_1} + b \mathbf{e_2}, \quad {\mathbf w} = c \mathbf{e_1} + d \mathbf{e_2}

Тоді площа паралелограма основаного на векторах \mathbf{v, w}:

A = \left|\det\begin{bmatrix}{\mathbf v}& {\mathbf w}\end{bmatrix}\right| = |v_1w_2 - v_2w_1|.
{\mathbf v}\wedge {\mathbf w} = (v_1{\mathbf e}_1 + v_2{\mathbf e}_2)\wedge (w_1{\mathbf e}_1 + w_2{\mathbf e}_2)=
(v_1w_2-v_2w_1){\mathbf e}_1\wedge{\mathbf e}_2.

Для двох векторів \mathbf{a} і \mathbf{b} їх зовнішнім добутком називається антисиметричний тензор з двома індексами:

(1) \qquad (\mathbf{a} \wedge \mathbf{b})_{ij} = a_i b_j - a_j b_i = \begin{vmatrix} a_i & b_i \\ a_j & b_j \end{vmatrix}

Величина (1) називається також бівектором.

Очевидно, що компоненти цього тензора є сукупністю 2 \times 2 мінорів наступної прямокутної 2 \times n матриці:

\begin{bmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \\ \cdots & \cdots \\ a_n & b_n \end{bmatrix}

Формулу (1) можна узагальнити на більшу кількість співмножників (результуючий антисиметричний тензор має стільки ж індексів m, скільки є співмножників):

(2) \qquad (\mathbf{a} \wedge \mathbf{b} \wedge \cdots \wedge \mathbf{h})_{ij \dots p} = \begin{vmatrix} a_i & b_i & \cdots & h_i \\ a_j & b_j & \cdots & h_j \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_p & b_p & \cdots & h_p \end{vmatrix}

Назвемо тензор (2) мультивектором. Компоненти мультивектра є сукупністю m \times m мінорів прямокутної m \times n матриці:

\begin{bmatrix} a_1 & b_1 & \cdots & h_1 \\ a_2 & b_2 & \cdots & h_2 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_n & b_n & \cdots & h_n \end{bmatrix}

Основні властивості зовнішнього добутку[ред.ред. код]

Із властивостей визначників матриць можна зробити такі висновки:

Зовнішній добуток змінює знак на протилежний при перестановці будь-яких двох векторних співмножників:

(3) \qquad \mathbf{b} \wedge \mathbf{a} \wedge \cdots \wedge \mathbf{h} = - (\mathbf{a} \wedge \mathbf{b} \wedge \cdots \wedge \mathbf{h})

Зовнішній добуток лінійний окремо за кожним із співмножників:

(4) \qquad (\alpha \mathbf{a} + \beta \mathbf{x}) \wedge \mathbf{b} \wedge \cdots \wedge \mathbf{h} = \alpha (\mathbf{a} \wedge \mathbf{b} \wedge \cdots \wedge \mathbf{h}) + \beta (\mathbf{x} \wedge \mathbf{b} \wedge \cdots \wedge \mathbf{h})

Зовнішній добуток дорівнює нулю, якщо його співмножники лінійно залежні:

\alpha \mathbf{a} + \beta \mathbf{b} + \cdots + \chi \mathbf{h} = 0

зокрема якщо кількість співмножників більша за розмірність векторного простору n, або якщо два будь-які співмножники збігаються:

(5)\qquad \mathbf{a} \wedge \mathbf{a} \wedge \dots = 0

Групування множників мультивектора[ред.ред. код]

Розглянемо цю властивість на прикладі тривектора \mathbf{a} \wedge \mathbf{b} \wedge \mathbf{c}. Із перших двох множників складаємо бівектор:

(6) \qquad \boldsymbol{\sigma} = \mathbf{a} \wedge \mathbf{b}

тоді компоненти тривектора запишуться так:

(7) \qquad (\mathbf{a} \wedge \mathbf{b} \wedge \mathbf{c})_{ijk} = \begin{vmatrix} a_i & b_i & c_i \\ a_j & b_j & c_j \\ a_k & b_k & c_k \end{vmatrix} =
\qquad = (a_i b_j - a_j b_i) c_k + (a_k b_i - a_i b_k) c_j + (a_j b_k - a_k b_j) c_i = \sigma_{ij} c_k + \sigma_{ki} c_j + \sigma_{jk} c_i

Отже зовнішній добуток бівектора на вектор визначається формулою:

(8) \qquad \boldsymbol{\sigma} \wedge \mathbf{c} = \mathbf{c} \wedge \boldsymbol{\sigma} = \sigma_{ij} c_k + \sigma_{ki} c_j + \sigma_{jk} c_i

Більш загально, розклад визначника по першому рядку дає формулу зовнішнього добутку вектора a_i на мультивектор \tau_{i_1 i_2 \dots i_{m-1}}:

(9) \qquad (\mathbf{a} \wedge \boldsymbol{\tau})_{i_1 i_2 \dots i_m} = a_{i_1} \tau_{i_2 i_3 \dots i_m} - a_{i_2} \tau_{i_1 i_3 \dots i_m} + a_{i_3} \tau_{i_1 i_3 \dots i_m} - \cdots + (-1)^{m-1} a_{i_m} \tau_{i_1 i_2 \dots i_{m-1}}

У кожному доданку суми у формулі (9) індекси мультивектора \boldsymbol{\tau} є вибіркою m-1 індекса з набору i_1, i_2, \dots i_m (за винятком того індекса, що стоїть біля вектора \mathbf{a}).

Якщо число m непарне, то внаслідок антисиметрії тензора \boldsymbol{\tau} формулу (9) можна записати ще так:

(9a) \qquad (\mathbf{a} \wedge \boldsymbol{\tau})_{i_1 i_2 \dots i_m} = a_{[i_1} \tau_{i_2 i_3 \dots i_m]}

де квадратними дужками позначено суму по циклічних перестановках індексів i_1, i_2, \dots i_m (порівняйте з формулою (8)).

Також відмітимо зовнішній добуток двох бівекторів (викладки щодо розкриття визначника четвертого порядку пропускаємо):

(10) \qquad (\boldsymbol{\sigma} \wedge \boldsymbol{\rho})_{ijkl} = (\sigma_{ij} \rho_{kl} + \sigma_{ki} \rho_{jl} + \sigma_{jk} \rho_{il}) + (\rho_{ij} \sigma_{kl} + \rho_{ki} \sigma_{jl} + \rho_{jk} \sigma_{il})

Взагалі, якщо ми маємо зовнішній добуток k мультивекторів \boldsymbol{\tau}_1, \boldsymbol{\tau}_2 \dots \boldsymbol{\tau}_k рангів m_1, m_2, \dots m_k відповідно, то кількість доданків у формулі, що виражає компоненти зовнішнього добутку через компоненти співмножників, дорівнює:

(11) \qquad {(m_1 + m_2 + \dots + m_k)! \over {m_1! m_2! \cdots m_k! }}

Мультивектор як орієнтована m-вимірна площадка[ред.ред. код]

Хай ми маємо наступний мультивектор, складений із векторів \mathbf{x}_1, \dots \mathbf{x}_m; \; (m \le n):

(12) \qquad \boldsymbol{\tau} = \mathbf{x}_1 \wedge \mathbf{x}_2 \wedge \dots \wedge \mathbf{x}_m

Цей мультивектор ненульовий тільки тоді, коли вектори \mathbf{x}_i лінійно незалежні, тобто вони визначають m-вимірний лінійний підпростір. Складемо з цих векторів m лінійних комбінацій:

(13) \qquad \mathbf{y}_i = \sum_{j = 1}^m \alpha_i^j \mathbf{x}_j, \qquad i = {1, 2, \dots m}

і утворимо новий мультивектор із їхнього зовнішнього добутку:

(14) \qquad \hat \boldsymbol{\tau} = \mathbf{y}_1 \wedge \mathbf{y}_2 \wedge \dots \wedge \mathbf{y}_m = \sum_{j_1, j_2, \dots j_m = 1}^m \alpha_1^{j_1} \alpha_1^{j_2} \cdots \alpha_m^{j_m} (\mathbf{x}_{j_1} \wedge \mathbf{x}_{j_2} \wedge \dots \wedge \mathbf{x}_{j_m})

В останній сумі відмінні від нуля лише ті доданки, в яких всі індекси j_1, j_2, \dots j_m різні, тобто є перестановкою чисел 1, 2, \dots m. Більше того, з точністю до знаку всі зовнішні добутки в правій частині формули (14) рівні величині:

\qquad \mathbf{x}_1 \wedge \mathbf{x}_2 \wedge \dots \wedge \mathbf{x}_m

а знак дорівнює +1, коли j_1, j_2, \dots j_m є парною перестановкою чисел 1, 2, \dots m, і дорівнює -1 для непарних перестановок. Тому маємо:

(15) \qquad \hat \boldsymbol{\tau} = \mathrm{det}(\alpha) (\mathbf{x}_1 \wedge \mathbf{x}_2 \wedge \dots \wedge \mathbf{x}_m)

Як бачимо, новий мультивектор \hat \boldsymbol{\tau} пропорційний мультивектору \boldsymbol{\tau}. Він буде дорівнювати старому мультивектору, якщо:

(16) \qquad \mathrm{det}(\alpha_j^i) = 1

Отже компоненти мультивектора \boldsymbol{\tau} не привязані до фіксованого набору векторів, але тільки до орієнтованого m-вимірного підпростору, що проведений через ці вектори і скаляра - числа яке є нормою або величною мультивектора.

Підрахунок кількості параметрів[ред.ред. код]

Довільний антисиметричний тензор m-рангу t_{i_1 i_2 \dots i_m} має таку кількість незалежних компонент:

(17) \qquad N_t = C^m_n = {n! \over m! (n-m)!}

Дійсно, для кожної виборки m індексів i_1, i_2, \dots i_m із n чисел 1, 2, \dots n ми можемо розмістити ці індекси в порядку зростання i_1 < i_2 < \cdots < i_m, і приписати довільне значення компоненті тензора t_{i_1 i_2 \dots i_m}. Значення компоненти тензора з цими ж індексами, але розміщеними в іншому порядку (переставленими індексами) легко обчислюється виходячи з властивості антисиметрії.

Тепер розглянемо мультивектор \boldsymbol{\tau} = \mathbf{x}_1 \wedge \mathbf{x}_2 \wedge \dots \wedge \mathbf{x}_m рангу m. Його компоненти обчислюються за формулою (2) через m n чисел - координат векторів \mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \dots \mathbf{x}_m. Але оскільки ці вектори задаються неоднозначно, але з точністю до лінійної підстановки (13), то від добутку m n треба відняти число m^2 - кількість коефіцієнтів матриці переходу \alpha_i^j. І додати число 1, оскільки коефіцієнти матриці переходу зв'язані одним скалярним рівнянням (16). Таким чином, мультивектор \boldsymbol{\tau} залежить від такої кількості параметрів:

(18) \qquad N_{\tau} = m n - m^2 + 1 = m (n - m) + 1

Відмітимо, що результат формул (17) і (18) не зміниться, якщо замінити m на n - m. Це наслідок існування дуальних об'єктів для антисиметричного тензора і для мультивектора.

Формули (17) і (18) дають однаковий результат для таких чотирьох значень рангу m: скалярів (m = 0), векторів (m = 1), псевдовекторів (m = n -1) і псевдоскалярів (m = n). Покажемо, що для всіх інших значень 2 \le m \le n-2 (звісно при n \ge 4) кількість мультивекторів менша за кількість всіх антисиметричних тензорів (тобто існують тензори, що не є орієнтованими площадками). Для доведення скористаємося відомою комбінаторною рівністю:

(19) \qquad C_n^k = C_{n-1}^k + C_{n-1}^{k-1}

Послідовно застосовуючи її, знаходимо для формули (17):

(20) \qquad N_t = C_n^m = C_{n-1}^m + C_{n-2}^{m-1} + \cdots + C_{n-m}^1 + C_{n-m-1}^0 = 1 + \sum_{k = 1}^m C_{n - m - 1 +k}^k

Позначимо p = (n - 1) - m > 0, і знаходимо різницю:

(21) \qquad \Delta N = N_t - N_{\tau} = 1 + \sum_{k = 1}^m C_{p +k}^k - m (n - m) - 1 = \sum_{k = 1}^m \left ( C_{p+k}^k - (n - m)\right ) =  \sum_{k = 1}^m \left ( C_{p+k}^k - C_{p+1}^1 \right )

Перший доданок у формулі (21) дорівнює нулю (при k = 1), але в цій формулі наявні і інші доданки, оскільки m \ge 2. Усі ці інші доданки строго додатні, бо із (19) слідує нерівність:

(22) \qquad C_{p+k}^k = C_{p+k-1}^k + C_{p+k-1}^{k-1} > C_{p+k-1}^{k-1} > C_{p+k-2}^{k-2} > \dots > C_{p+1}^1

Представлення довільного антисиметричного тензора сумою мультивекторів[ред.ред. код]

Нехай ми маємо довільний антисиметричний тензор t_{i_1 i_2 \dots i_m} рангу m.

Розглянемо сукупність базисних векторів (індекси в дужках вгорі нумерують ці вектори, і не є координатами):

(23) \qquad \mathbf{e}^{(1)} = \{ 1, 0, \dots 0\}; \; \mathbf{e}^{(2)} = \{0, 1, \dots 0 \}; \; \dots \; \mathbf{e}^{(n)} = \{0, 0, \dots 1 \}

або в координатах:

(23a) \qquad e_j^{(i)} = \delta_j^i \qquad (i, j \in \{ 1, 2, \dots n\})

З цих векторів утворимо сукупність мультивекторів рангу m:

(24) \qquad \mathbf{E}^{(i_1 i_2  \dots i_m)} = \mathbf{e}^{(i_1)} \wedge \mathbf{e}^{(i_2)} \wedge \dots \wedge \mathbf{e}^{(i_m)}

Кожен мультивектор (24) має відмінну від нуля тільки одну (з точністю до перестановок індексів) компоненту:

(25) \qquad (\mathbf{E}^{(i_1 i_2  \dots i_m)})_{i_1 i_2 \dots i_m} = 1

Тому тензор \mathbf{t} можна записати у вигляды суми:

(26) \qquad \mathbf{t} = \sum_{i_1 < i_2 < \dots < i_m} t_{i_1 i_2 \dots i_m} \mathbf{E}^{(i_1 i_2 \dots i_m)}

Це представлення, разом із лінійністю зовнішнього добутку, дає змогу поширити зовнішній добуток на довільні антисиметричні тензори. Формули (8 - 10) і їм подібні залишаються справедливими і в випадку, коли ми вважаємо \boldsymbol{\tau}, \boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{\rho} довільними антисиметричними тензорами.

Метричні властивості зовнішнього добутку[ред.ред. код]

Нехай у векторному просторі задано метричний тензор g_{ij}. Ми можемо розглядати довжини векторів і кути між ними, піднімати і опускати індекси тензорів.

Піднесемо до квадрата бівектор \boldsymbol{\sigma} = \mathbf{a} \wedge \mathbf{b}:

(27) \qquad \sigma_{ij} \sigma^{ij} = (a_i b_j - a_j b_i)(a^i b^j - a^j b^i) = 2 (|\mathbf{a}|^2 |\mathbf{b}|^2 - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2) =
= 2! \begin{vmatrix} (\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}) & (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \\ (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) & (\mathbf{b} \cdot \mathbf{b})  \end{vmatrix}

Визначник Грамма двох векторів дорівнює квадрату площі S = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \sin \phi паралелограма, побудованого на цих векторах. Норма бівектора задається формулою:

(28) \qquad |\mathbf{a} \wedge \mathbf{b}| = S = \sqrt{\sum_{i < j} \sigma_{ij} \sigma^{ij}}

Відмітимо формулу:

(29) \qquad |\mathbf{a} \wedge \mathbf{b}|^2 + (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2 = (|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|)^2

Тепер піднесемо до квадрата тривектор \boldsymbol{\tau} = \mathbf{a} \wedge \mathbf{b} \wedge \mathbf{c}.

(30) \qquad \tau_{ijk} \tau^{ijk} = (a_i b_j c_k + a_j b_k c_i + a_k b_i c_j - a_i b_k c_j - a_j b_i c_k - a_k b_j c_i) (a^i b^j c^k + a^j b^k c^i + a^k b^i c^j - a^i b^k c^j - a^j b^i c^k - a^k b^j c^i) =
\qquad = 3! \begin{vmatrix} (\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}) & (\mathbf{b} \cdot \mathbf{a}) & (\mathbf{c} \cdot \mathbf{a}) \\ (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) & (\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}) & (\mathbf{c} \cdot \mathbf{b}) \\ (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) & (\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}) & (\mathbf{c} \cdot \mathbf{c})  \end{vmatrix}

Визначник Грамма трьох векторів дорівнює квадрату об'єму V паралелепіпеда, побудованого на цих векторах. Норма бівектора задається формулою:

(31) \qquad |\mathbf{a} \wedge \mathbf{b} \wedge \mathbf{c}| = V = \sqrt{\sum_{i < j <k} \tau_{ijk} \tau^{ijk}}

Узагальнення формули (30) на мультивектори більшого рангу очевидне. Норма зовнішнього добутку m векторів дорівнює m-мірному об'єму паралелепіпеда, побудованого на цих векторах.

Мультивектор можна уявляти у вигляді орієнтованої m-мірної площадки довільної форми, "площа" якої дорівнює об'єму паралелепіпеда побудованого на векторах-множниках мультивектора.

Згортка мультивектора з вектором[ред.ред. код]

Розглянемо спочатку згортку тривектора  \mathbf{a} \wedge \mathbf{b} \wedge \mathbf{c} з контраваріантним вектором v^p. Результат згортки буде деякий тензор \sigma_{ij} другого рангу:

(31) \qquad \sigma_{ij} = (\mathbf{a} \wedge \mathbf{b} \wedge \mathbf{c})_{ijk} v^k

Очевидно, що цей тензор антисиметричний. Доведемо, що він є бівектором, тобто знайдуться такі вектори \tilde \mathbf{a}, \tilde \mathbf{b} що \boldsymbol{\sigma} = \tilde \mathbf{a} \wedge \tilde \mathbf{b}. Внаслідок лінійності визначника по останньому рядку маємо:

(32) \qquad \sigma_{ij} = \begin{vmatrix} a_i & b_i & c_i \\ a_j & b_j & c_j \\ a_k & b_k & c_k \end{vmatrix} v^k = \begin{vmatrix} a_i & b_i & c_i \\ a_j & b_j & c_j \\ (\mathbf{a} \cdot \mathbf{v}) & (\mathbf{b} \cdot \mathbf{v}) & (\mathbf{c} \cdot \mathbf{v}) \end{vmatrix}

Якщо вектор \mathbf{v} ортогональний до тривектора, тобто до кожного з векторів \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}, то останній рядок в матриці формули (32) буде нульовим, і згортка тривектора з вектором буде дорівнювати нулю.

Тепер нехай вектор \mathbf{v} буде не ортогональний до одного з векторів тривектора, наприклад (\mathbf{c} \cdot \mathbf{v}) \ne 0. Ми можемо у визначнику в правій частині формули (32) відняти від першого і другого рядків третій рядок з таким коефіцієнтом, щоб перетворити число з третьої колонки в нуль:

(33) \qquad \sigma_{ij} = \begin{vmatrix} a_i - {(\mathbf{a} \cdot \mathbf{v}) \over (\mathbf{c} \cdot \mathbf{v})} c_i & b_i - {(\mathbf{b} \cdot \mathbf{v}) \over (\mathbf{c} \cdot \mathbf{v})} c_i & 0 \\ a_j - {(\mathbf{a} \cdot \mathbf{v}) \over (\mathbf{c} \cdot \mathbf{v})} c_j & b_j - {(\mathbf{b} \cdot \mathbf{v}) \over (\mathbf{c} \cdot \mathbf{v})} c_j & 0 \\ (\mathbf{a} \cdot \mathbf{v}) & (\mathbf{b} \cdot \mathbf{v}) & (\mathbf{c} \cdot \mathbf{v})  \end{vmatrix} =
\qquad = (\mathbf{c} \cdot \mathbf{v})  \begin{vmatrix} a_i - {(\mathbf{a} \cdot \mathbf{v}) \over (\mathbf{c} \cdot \mathbf{v})} c_i & b_i - {(\mathbf{b} \cdot \mathbf{v}) \over (\mathbf{c} \cdot \mathbf{v})} c_i \\ a_j - {(\mathbf{a} \cdot \mathbf{v}) \over (\mathbf{c} \cdot \mathbf{v})} c_j & b_j - {(\mathbf{b} \cdot \mathbf{v}) \over (\mathbf{c} \cdot \mathbf{v})} c_j  \end{vmatrix}

Ми можемо внести множник всередину визначника, наприклад помноживши на перший стовпчик. Ми можемо взяти такі два вектора:

(34) \qquad \tilde \mathbf{a} = (\mathbf{c} \cdot \mathbf{v}) \mathbf{a} - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{v}) \mathbf{c}, \qquad \tilde \mathbf{b} = \mathbf{b} - {(\mathbf{b} \cdot \mathbf{v}) \over (\mathbf{c} \cdot \mathbf{v})} \mathbf{c}

через зовнішній добуток яких виражається наш результат згортки тривектора з вектором:

(35) \qquad \boldsymbol{\sigma} = \tilde \mathbf{a} \wedge \tilde \mathbf{b}

Аналогічні викладки дають, що згортка будь-якого мультивектора з вектором є мультивектором на одиницю меншого рангу.

Внутрішній добуток мультивекторів[ред.ред. код]

Позначимо операцію згортки мультивектора з вектором крапкою, такою самою як і в позначенні скалярного добутку векторів:

(36) \qquad \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\tau} \cdot \mathbf{v}
(36a) \qquad (\boldsymbol{\tau} \cdot \mathbf{v})_{i_1 i_2 \dots i_{m-1}} = \tau_{i_1 i_2 \dots i_{m-1} k} v^k

і назвемо її внутрішнім добутком мультивектора на вектор.

Дослідимо властивості внутрішнього добутку. Якщо вектор \mathbf{v} ортогональний до підпростору, в якому лежить мультивектор \boldsymbol{\tau}, то результатом внутрішнього добутку буде нуль. В іншому разі (неортогональності) результат є мультивектором \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\tau} \cdot \mathbf{v}, який повністю лежить у підпросторі мультивектора \boldsymbol{\tau} (оскільки кожен з векторів у формулі (34) лежить в \boldsymbol{\tau}). Спробуємо ще раз внутрішньо перемножити результат на той самий вектор \mathbf{v}:

(37) \qquad ((\boldsymbol{\tau} \cdot \mathbf{v}) \cdot \mathbf{v})_{i_1 i_2 \dots i_{m-2}} = \tau_{i_1 i_2 \dots i_{m-2} j k} v^j v^k = 0

Ми одержуємо нуль внаслідок антисиметричності мультивектора по індексах j, k.

Порівняння з векторним добутком векторів у тривимірному просторі[ред.ред. код]

Розглянемо згортку бівектора з вектором:

(38) \qquad a^j (\mathbf{b} \wedge \mathbf{c})_{ij} = a^j (b_i c_j - b_j c_i) = b_i (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) - c_i (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})

а також властивість зовнішнього добутку трьох векторів:

(39) \qquad \mathbf{a} \wedge \mathbf{b} \wedge \mathbf{c} = \mathbf{b} \wedge \mathbf{c} \wedge \mathbf{a} = \mathbf{c} \wedge \mathbf{a} \wedge \mathbf{b}

Порівняємо з наступними формулами векторного добутку трьохмірних векторів:

(40) \qquad \mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = \mathbf{b} (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) - \mathbf{c} (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})
(41) \qquad \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = \mathbf{b} \cdot (\mathbf{c} \times \mathbf{a}) =\mathbf{c} \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{b})

Ми бачимо, що формули (40) і (41) аналогічні формулам (38) і (39), але якби переставлені. Ця переставленість виникає тому, що векторний добуток є дуальним тензором до бівектора:

(42) \qquad (\mathbf{a} \times \mathbf{b})^i = \epsilon^{ijk} a_j b_k = \sum_{j < k} \epsilon^{ijk} (a_j b_k - a_k b_j)

де \epsilon^{ijk} є одиничним антисиметричним тензором тривимірного простору.