Зовнішня алгебра

Зо́внішня а́лгебра (алгебра Грассмана) — алгебраїчна система, що є узагальненням векторного добутку для лінійних просторів довільної розмірності. Вперше введена Грассманом.

Вводить асоціативну, білінійну та антикомутативну операцію зовнішнього добутку (позначається знаком $\wedge$).

Визначення

Зовнішня алгебра векторного простору $\ V$ над полем $\mathbb{K}$, це асоціативна алгебра над $\mathbb{K}$, для якої виконується:

$u \wedge v = - v \wedge u \quad \forall u,v\in V$

$u \wedge u = 0 \quad \forall u\in V$

$u \wedge k = k \wedge u, \quad k \in \mathbb{K}.$

Зовнішня алгебра позначається як $\ \bigwedge(V)$ і не залежить від вибору базиса.

Зв'язані визначення

• Для $r=\overline{0,n}$ підпростір $\ \bigwedge^r(V)$, з елементів виду $e_{i_1} \wedge ...\wedge e_{i_r}$, називається $\ r$-им зовнішним ступенем простору $\ V$.

• Простір $\ \bigwedge(V)$ є прямою сумою підпросторів виду $\ \bigwedge^r(V)$:

$\bigwedge(V) = \bigwedge^0(V) \oplus \bigwedge^1(V) \oplus \bigwedge^2(V) \oplus \cdots \oplus \bigwedge^n(V)$

Властивості

$\operatorname{dim}\bigwedge^r(V)=C^r_n$

Приклади

.

Якщо є декартова площина ${\mathbb{R}}^2$ з ортонормованим базисом: $\mathbf{e_1} = (1,0), \quad \mathbf{e_2} = (0,1).$

Нехай

$\mathbf{v} = a \mathbf{e_1} + b \mathbf{e_2}, \quad {\mathbf w} = c \mathbf{e_1} + d \mathbf{e_2}$

Тоді площа паралелограма основаного на векторах $\mathbf{v, w}$:

$A = \left|\det\begin{bmatrix}{\mathbf v}& {\mathbf w}\end{bmatrix}\right| = |v_1w_2 - v_2w_1|.$

${\mathbf v}\wedge {\mathbf w} = (v_1{\mathbf e}_1 + v_2{\mathbf e}_2)\wedge (w_1{\mathbf e}_1 + w_2{\mathbf e}_2)= (v_1w_2-v_2w_1){\mathbf e}_1\wedge{\mathbf e}_2.$

Для двох векторів $\mathbf{a}$ і $\mathbf{b}$ їх зовнішнім добутком називається антисиметричний тензор з двома індексами:

$(1) \qquad (\mathbf{a} \wedge \mathbf{b})_{ij} = a_i b_j - a_j b_i = \begin{vmatrix} a_i & b_i \\ a_j & b_j \end{vmatrix}$

Величина (1) називається також бівектором.

Очевидно, що компоненти цього тензора є сукупністю $2 \times 2$ мінорів наступної прямокутної $2 \times n$ матриці:

$\begin{bmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \\ \cdots & \cdots \\ a_n & b_n \end{bmatrix}$

Формулу (1) можна узагальнити на більшу кількість співмножників (результуючий антисиметричний тензор має стільки ж індексів $m$, скільки є співмножників):

$(2) \qquad (\mathbf{a} \wedge \mathbf{b} \wedge \cdots \wedge \mathbf{h})_{ij \dots p} = \begin{vmatrix} a_i & b_i & \cdots & h_i \\ a_j & b_j & \cdots & h_j \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_p & b_p & \cdots & h_p \end{vmatrix}$

Назвемо тензор (2) мультивектором. Компоненти мультивектра є сукупністю $m \times m$ мінорів прямокутної $m \times n$ матриці:

$\begin{bmatrix} a_1 & b_1 & \cdots & h_1 \\ a_2 & b_2 & \cdots & h_2 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_n & b_n & \cdots & h_n \end{bmatrix}$

Основні властивості зовнішнього добутку

Із властивостей визначників матриць можна зробити такі висновки:

Зовнішній добуток змінює знак на протилежний при перестановці будь-яких двох векторних співмножників:

$(3) \qquad \mathbf{b} \wedge \mathbf{a} \wedge \cdots \wedge \mathbf{h} = - (\mathbf{a} \wedge \mathbf{b} \wedge \cdots \wedge \mathbf{h})$

Зовнішній добуток лінійний окремо за кожним із співмножників:

$(4) \qquad (\alpha \mathbf{a} + \beta \mathbf{x}) \wedge \mathbf{b} \wedge \cdots \wedge \mathbf{h} = \alpha (\mathbf{a} \wedge \mathbf{b} \wedge \cdots \wedge \mathbf{h}) + \beta (\mathbf{x} \wedge \mathbf{b} \wedge \cdots \wedge \mathbf{h})$

Зовнішній добуток дорівнює нулю, якщо його співмножники лінійно залежні:

$\alpha \mathbf{a} + \beta \mathbf{b} + \cdots + \chi \mathbf{h} = 0$

зокрема якщо кількість співмножників більша за розмірність векторного простору $n$, або якщо два будь-які співмножники збігаються:

$(5)\qquad \mathbf{a} \wedge \mathbf{a} \wedge \dots = 0$

Групування множників мультивектора

Розглянемо цю властивість на прикладі тривектора $\mathbf{a} \wedge \mathbf{b} \wedge \mathbf{c}$. Із перших двох множників складаємо бівектор:

$(6) \qquad \boldsymbol{\sigma} = \mathbf{a} \wedge \mathbf{b}$

тоді компоненти тривектора запишуться так:

$(7) \qquad (\mathbf{a} \wedge \mathbf{b} \wedge \mathbf{c})_{ijk} = \begin{vmatrix} a_i & b_i & c_i \\ a_j & b_j & c_j \\ a_k & b_k & c_k \end{vmatrix} =$

$\qquad = (a_i b_j - a_j b_i) c_k + (a_k b_i - a_i b_k) c_j + (a_j b_k - a_k b_j) c_i = \sigma_{ij} c_k + \sigma_{ki} c_j + \sigma_{jk} c_i$

Отже зовнішній добуток бівектора на вектор визначається формулою:

$(8) \qquad \boldsymbol{\sigma} \wedge \mathbf{c} = \mathbf{c} \wedge \boldsymbol{\sigma} = \sigma_{ij} c_k + \sigma_{ki} c_j + \sigma_{jk} c_i$

Більш загально, розклад визначника по першому рядку дає формулу зовнішнього добутку вектора $a_i$ на мультивектор $\tau_{i_1 i_2 \dots i_{m-1}}$:

$(9) \qquad (\mathbf{a} \wedge \boldsymbol{\tau})_{i_1 i_2 \dots i_m} = a_{i_1} \tau_{i_2 i_3 \dots i_m} - a_{i_2} \tau_{i_1 i_3 \dots i_m} + a_{i_3} \tau_{i_1 i_3 \dots i_m} - \cdots + (-1)^{m-1} a_{i_m} \tau_{i_1 i_2 \dots i_{m-1}}$

У кожному доданку суми у формулі (9) індекси мультивектора $\boldsymbol{\tau}$ є вибіркою $m-1$ індекса з набору $i_1, i_2, \dots i_m$ (за винятком того індекса, що стоїть біля вектора $\mathbf{a}$).

Якщо число $m$ непарне, то внаслідок антисиметрії тензора $\boldsymbol{\tau}$ формулу (9) можна записати ще так:

$(9a) \qquad (\mathbf{a} \wedge \boldsymbol{\tau})_{i_1 i_2 \dots i_m} = a_{[i_1} \tau_{i_2 i_3 \dots i_m]}$

де квадратними дужками позначено суму по циклічних перестановках індексів $i_1, i_2, \dots i_m$ (порівняйте з формулою (8)).

Також відмітимо зовнішній добуток двох бівекторів (викладки щодо розкриття визначника четвертого порядку пропускаємо):

$(10) \qquad (\boldsymbol{\sigma} \wedge \boldsymbol{\rho})_{ijkl} = (\sigma_{ij} \rho_{kl} + \sigma_{ki} \rho_{jl} + \sigma_{jk} \rho_{il}) + (\rho_{ij} \sigma_{kl} + \rho_{ki} \sigma_{jl} + \rho_{jk} \sigma_{il})$

Взагалі, якщо ми маємо зовнішній добуток $k$ мультивекторів $\boldsymbol{\tau}_1, \boldsymbol{\tau}_2 \dots \boldsymbol{\tau}_k$ рангів $m_1, m_2, \dots m_k$ відповідно, то кількість доданків у формулі, що виражає компоненти зовнішнього добутку через компоненти співмножників, дорівнює:

$(11) \qquad {(m_1 + m_2 + \dots + m_k)! \over {m_1! m_2! \cdots m_k! }}$

Мультивектор як орієнтована $m$-вимірна площадка

Хай ми маємо наступний мультивектор, складений із векторів $\mathbf{x}_1, \dots \mathbf{x}_m; \; (m \le n)$:

$(12) \qquad \boldsymbol{\tau} = \mathbf{x}_1 \wedge \mathbf{x}_2 \wedge \dots \wedge \mathbf{x}_m$

Цей мультивектор ненульовий тільки тоді, коли вектори $\mathbf{x}_i$ лінійно незалежні, тобто вони визначають $m$-вимірний лінійний підпростір. Складемо з цих векторів $m$ лінійних комбінацій:

$(13) \qquad \mathbf{y}_i = \sum_{j = 1}^m \alpha_i^j \mathbf{x}_j, \qquad i = {1, 2, \dots m}$

і утворимо новий мультивектор із їхнього зовнішнього добутку:

$(14) \qquad \hat \boldsymbol{\tau} = \mathbf{y}_1 \wedge \mathbf{y}_2 \wedge \dots \wedge \mathbf{y}_m = \sum_{j_1, j_2, \dots j_m = 1}^m \alpha_1^{j_1} \alpha_1^{j_2} \cdots \alpha_m^{j_m} (\mathbf{x}_{j_1} \wedge \mathbf{x}_{j_2} \wedge \dots \wedge \mathbf{x}_{j_m})$

В останній сумі відмінні від нуля лише ті доданки, в яких всі індекси $j_1, j_2, \dots j_m$ різні, тобто є перестановкою чисел $1, 2, \dots m$. Більше того, з точністю до знаку всі зовнішні добутки в правій частині формули (14) рівні величині:

$\qquad \mathbf{x}_1 \wedge \mathbf{x}_2 \wedge \dots \wedge \mathbf{x}_m$

а знак дорівнює $+1$, коли $j_1, j_2, \dots j_m$ є парною перестановкою чисел $1, 2, \dots m$, і дорівнює $-1$ для непарних перестановок. Тому маємо:

$(15) \qquad \hat \boldsymbol{\tau} = \mathrm{det}(\alpha) (\mathbf{x}_1 \wedge \mathbf{x}_2 \wedge \dots \wedge \mathbf{x}_m)$

Як бачимо, новий мультивектор $\hat \boldsymbol{\tau}$ пропорційний мультивектору $\boldsymbol{\tau}$. Він буде дорівнювати старому мультивектору, якщо:

$(16) \qquad \mathrm{det}(\alpha_j^i) = 1$

Отже компоненти мультивектора $\boldsymbol{\tau}$ не привязані до фіксованого набору векторів, але тільки до орієнтованого $m$-вимірного підпростору, що проведений через ці вектори і скаляра - числа яке є нормою або величною мультивектора.

Підрахунок кількості параметрів

Довільний антисиметричний тензор $m$-рангу $t_{i_1 i_2 \dots i_m}$ має таку кількість незалежних компонент:

$(17) \qquad N_t = C^m_n = {n! \over m! (n-m)!}$

Дійсно, для кожної виборки $m$ індексів $i_1, i_2, \dots i_m$ із $n$ чисел $1, 2, \dots n$ ми можемо розмістити ці індекси в порядку зростання $i_1 < i_2 < \cdots < i_m$, і приписати довільне значення компоненті тензора $t_{i_1 i_2 \dots i_m}$. Значення компоненти тензора з цими ж індексами, але розміщеними в іншому порядку (переставленими індексами) легко обчислюється виходячи з властивості антисиметрії.

Тепер розглянемо мультивектор $\boldsymbol{\tau} = \mathbf{x}_1 \wedge \mathbf{x}_2 \wedge \dots \wedge \mathbf{x}_m$ рангу $m$. Його компоненти обчислюються за формулою (2) через $m n$ чисел - координат векторів $\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \dots \mathbf{x}_m$. Але оскільки ці вектори задаються неоднозначно, але з точністю до лінійної підстановки (13), то від добутку $m n$ треба відняти число $m^2$ - кількість коефіцієнтів матриці переходу $\alpha_i^j$. І додати число 1, оскільки коефіцієнти матриці переходу зв'язані одним скалярним рівнянням (16). Таким чином, мультивектор $\boldsymbol{\tau}$ залежить від такої кількості параметрів:

$(18) \qquad N_{\tau} = m n - m^2 + 1 = m (n - m) + 1$

Відмітимо, що результат формул (17) і (18) не зміниться, якщо замінити $m$ на $n - m$. Це наслідок існування дуальних об'єктів для антисиметричного тензора і для мультивектора.

Формули (17) і (18) дають однаковий результат для таких чотирьох значень рангу $m$: скалярів ($m = 0$), векторів ($m = 1$), псевдовекторів ($m = n -1$) і псевдоскалярів ($m = n$). Покажемо, що для всіх інших значень $2 \le m \le n-2$ (звісно при $n \ge 4$) кількість мультивекторів менша за кількість всіх антисиметричних тензорів (тобто існують тензори, що не є орієнтованими площадками). Для доведення скористаємося відомою комбінаторною рівністю:

$(19) \qquad C_n^k = C_{n-1}^k + C_{n-1}^{k-1}$

Послідовно застосовуючи її, знаходимо для формули (17):

$(20) \qquad N_t = C_n^m = C_{n-1}^m + C_{n-2}^{m-1} + \cdots + C_{n-m}^1 + C_{n-m-1}^0 = 1 + \sum_{k = 1}^m C_{n - m - 1 +k}^k$

Позначимо $p = (n - 1) - m > 0$, і знаходимо різницю:

$(21) \qquad \Delta N = N_t - N_{\tau} = 1 + \sum_{k = 1}^m C_{p +k}^k - m (n - m) - 1 = \sum_{k = 1}^m \left ( C_{p+k}^k - (n - m)\right ) = \sum_{k = 1}^m \left ( C_{p+k}^k - C_{p+1}^1 \right )$

Перший доданок у формулі (21) дорівнює нулю (при $k = 1$), але в цій формулі наявні і інші доданки, оскільки $m \ge 2$. Усі ці інші доданки строго додатні, бо із (19) слідує нерівність:

$(22) \qquad C_{p+k}^k = C_{p+k-1}^k + C_{p+k-1}^{k-1} > C_{p+k-1}^{k-1} > C_{p+k-2}^{k-2} > \dots > C_{p+1}^1$

Представлення довільного антисиметричного тензора сумою мультивекторів

Нехай ми маємо довільний антисиметричний тензор $t_{i_1 i_2 \dots i_m}$ рангу $m$.

Розглянемо сукупність базисних векторів (індекси в дужках вгорі нумерують ці вектори, і не є координатами):

$(23) \qquad \mathbf{e}^{(1)} = \{ 1, 0, \dots 0\}; \; \mathbf{e}^{(2)} = \{0, 1, \dots 0 \}; \; \dots \; \mathbf{e}^{(n)} = \{0, 0, \dots 1 \}$

або в координатах:

$(23a) \qquad e_j^{(i)} = \delta_j^i \qquad (i, j \in \{ 1, 2, \dots n\})$

З цих векторів утворимо сукупність мультивекторів рангу $m$:

$(24) \qquad \mathbf{E}^{(i_1 i_2 \dots i_m)} = \mathbf{e}^{(i_1)} \wedge \mathbf{e}^{(i_2)} \wedge \dots \wedge \mathbf{e}^{(i_m)}$

Кожен мультивектор (24) має відмінну від нуля тільки одну (з точністю до перестановок індексів) компоненту:

$(25) \qquad (\mathbf{E}^{(i_1 i_2 \dots i_m)})_{i_1 i_2 \dots i_m} = 1$

Тому тензор $\mathbf{t}$ можна записати у вигляды суми:

$(26) \qquad \mathbf{t} = \sum_{i_1 < i_2 < \dots < i_m} t_{i_1 i_2 \dots i_m} \mathbf{E}^{(i_1 i_2 \dots i_m)}$

Це представлення, разом із лінійністю зовнішнього добутку, дає змогу поширити зовнішній добуток на довільні антисиметричні тензори. Формули (8 - 10) і їм подібні залишаються справедливими і в випадку, коли ми вважаємо $\boldsymbol{\tau}, \boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{\rho}$ довільними антисиметричними тензорами.

Метричні властивості зовнішнього добутку

Нехай у векторному просторі задано метричний тензор $g_{ij}$. Ми можемо розглядати довжини векторів і кути між ними, піднімати і опускати індекси тензорів.

Піднесемо до квадрата бівектор $\boldsymbol{\sigma} = \mathbf{a} \wedge \mathbf{b}$:

$(27) \qquad \sigma_{ij} \sigma^{ij} = (a_i b_j - a_j b_i)(a^i b^j - a^j b^i) = 2 (|\mathbf{a}|^2 |\mathbf{b}|^2 - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2) =$

$= 2! \begin{vmatrix} (\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}) & (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \\ (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) & (\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}) \end{vmatrix}$

Визначник Грамма двох векторів дорівнює квадрату площі $S = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \sin \phi$ паралелограма, побудованого на цих векторах. Норма бівектора задається формулою:

$(28) \qquad |\mathbf{a} \wedge \mathbf{b}| = S = \sqrt{\sum_{i < j} \sigma_{ij} \sigma^{ij}}$

Відмітимо формулу:

$(29) \qquad |\mathbf{a} \wedge \mathbf{b}|^2 + (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2 = (|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|)^2$

Тепер піднесемо до квадрата тривектор $\boldsymbol{\tau} = \mathbf{a} \wedge \mathbf{b} \wedge \mathbf{c}$.

$(30) \qquad \tau_{ijk} \tau^{ijk} = (a_i b_j c_k + a_j b_k c_i + a_k b_i c_j - a_i b_k c_j - a_j b_i c_k - a_k b_j c_i) (a^i b^j c^k + a^j b^k c^i + a^k b^i c^j - a^i b^k c^j - a^j b^i c^k - a^k b^j c^i) =$

$\qquad = 3! \begin{vmatrix} (\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}) & (\mathbf{b} \cdot \mathbf{a}) & (\mathbf{c} \cdot \mathbf{a}) \\ (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) & (\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}) & (\mathbf{c} \cdot \mathbf{b}) \\ (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) & (\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}) & (\mathbf{c} \cdot \mathbf{c}) \end{vmatrix}$

Визначник Грамма трьох векторів дорівнює квадрату об'єму $V$ паралелепіпеда, побудованого на цих векторах. Норма бівектора задається формулою:

$(31) \qquad |\mathbf{a} \wedge \mathbf{b} \wedge \mathbf{c}| = V = \sqrt{\sum_{i < j <k} \tau_{ijk} \tau^{ijk}}$

Узагальнення формули (30) на мультивектори більшого рангу очевидне. Норма зовнішнього добутку $m$ векторів дорівнює $m$-мірному об'єму паралелепіпеда, побудованого на цих векторах.

Мультивектор можна уявляти у вигляді орієнтованої $m$-мірної площадки довільної форми, "площа" якої дорівнює об'єму паралелепіпеда побудованого на векторах-множниках мультивектора.

Згортка мультивектора з вектором

Розглянемо спочатку згортку тривектора $\mathbf{a} \wedge \mathbf{b} \wedge \mathbf{c}$ з контраваріантним вектором $v^p$. Результат згортки буде деякий тензор $\sigma_{ij}$ другого рангу:

$(31) \qquad \sigma_{ij} = (\mathbf{a} \wedge \mathbf{b} \wedge \mathbf{c})_{ijk} v^k$

Очевидно, що цей тензор антисиметричний. Доведемо, що він є бівектором, тобто знайдуться такі вектори $\tilde \mathbf{a}, \tilde \mathbf{b}$ що $\boldsymbol{\sigma} = \tilde \mathbf{a} \wedge \tilde \mathbf{b}$. Внаслідок лінійності визначника по останньому рядку маємо:

$(32) \qquad \sigma_{ij} = \begin{vmatrix} a_i & b_i & c_i \\ a_j & b_j & c_j \\ a_k & b_k & c_k \end{vmatrix} v^k = \begin{vmatrix} a_i & b_i & c_i \\ a_j & b_j & c_j \\ (\mathbf{a} \cdot \mathbf{v}) & (\mathbf{b} \cdot \mathbf{v}) & (\mathbf{c} \cdot \mathbf{v}) \end{vmatrix}$

Якщо вектор $\mathbf{v}$ ортогональний до тривектора, тобто до кожного з векторів $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$, то останній рядок в матриці формули (32) буде нульовим, і згортка тривектора з вектором буде дорівнювати нулю.

Тепер нехай вектор $\mathbf{v}$ буде не ортогональний до одного з векторів тривектора, наприклад $(\mathbf{c} \cdot \mathbf{v}) \ne 0$. Ми можемо у визначнику в правій частині формули (32) відняти від першого і другого рядків третій рядок з таким коефіцієнтом, щоб перетворити число з третьої колонки в нуль:

$(33) \qquad \sigma_{ij} = \begin{vmatrix} a_i - {(\mathbf{a} \cdot \mathbf{v}) \over (\mathbf{c} \cdot \mathbf{v})} c_i & b_i - {(\mathbf{b} \cdot \mathbf{v}) \over (\mathbf{c} \cdot \mathbf{v})} c_i & 0 \\ a_j - {(\mathbf{a} \cdot \mathbf{v}) \over (\mathbf{c} \cdot \mathbf{v})} c_j & b_j - {(\mathbf{b} \cdot \mathbf{v}) \over (\mathbf{c} \cdot \mathbf{v})} c_j & 0 \\ (\mathbf{a} \cdot \mathbf{v}) & (\mathbf{b} \cdot \mathbf{v}) & (\mathbf{c} \cdot \mathbf{v}) \end{vmatrix} =$

$\qquad = (\mathbf{c} \cdot \mathbf{v}) \begin{vmatrix} a_i - {(\mathbf{a} \cdot \mathbf{v}) \over (\mathbf{c} \cdot \mathbf{v})} c_i & b_i - {(\mathbf{b} \cdot \mathbf{v}) \over (\mathbf{c} \cdot \mathbf{v})} c_i \\ a_j - {(\mathbf{a} \cdot \mathbf{v}) \over (\mathbf{c} \cdot \mathbf{v})} c_j & b_j - {(\mathbf{b} \cdot \mathbf{v}) \over (\mathbf{c} \cdot \mathbf{v})} c_j \end{vmatrix}$

Ми можемо внести множник всередину визначника, наприклад помноживши на перший стовпчик. Ми можемо взяти такі два вектора:

$(34) \qquad \tilde \mathbf{a} = (\mathbf{c} \cdot \mathbf{v}) \mathbf{a} - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{v}) \mathbf{c}, \qquad \tilde \mathbf{b} = \mathbf{b} - {(\mathbf{b} \cdot \mathbf{v}) \over (\mathbf{c} \cdot \mathbf{v})} \mathbf{c}$

через зовнішній добуток яких виражається наш результат згортки тривектора з вектором:

$(35) \qquad \boldsymbol{\sigma} = \tilde \mathbf{a} \wedge \tilde \mathbf{b}$

Аналогічні викладки дають, що згортка будь-якого мультивектора з вектором є мультивектором на одиницю меншого рангу.

Внутрішній добуток мультивекторів

Позначимо операцію згортки мультивектора з вектором крапкою, такою самою як і в позначенні скалярного добутку векторів:

$(36) \qquad \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\tau} \cdot \mathbf{v}$

$(36a) \qquad (\boldsymbol{\tau} \cdot \mathbf{v})_{i_1 i_2 \dots i_{m-1}} = \tau_{i_1 i_2 \dots i_{m-1} k} v^k$

і назвемо її внутрішнім добутком мультивектора на вектор.

Дослідимо властивості внутрішнього добутку. Якщо вектор $\mathbf{v}$ ортогональний до підпростору, в якому лежить мультивектор $\boldsymbol{\tau}$, то результатом внутрішнього добутку буде нуль. В іншому разі (неортогональності) результат є мультивектором $\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\tau} \cdot \mathbf{v}$, який повністю лежить у підпросторі мультивектора $\boldsymbol{\tau}$ (оскільки кожен з векторів у формулі (34) лежить в $\boldsymbol{\tau}$). Спробуємо ще раз внутрішньо перемножити результат на той самий вектор $\mathbf{v}$:

$(37) \qquad ((\boldsymbol{\tau} \cdot \mathbf{v}) \cdot \mathbf{v})_{i_1 i_2 \dots i_{m-2}} = \tau_{i_1 i_2 \dots i_{m-2} j k} v^j v^k = 0$

Ми одержуємо нуль внаслідок антисиметричності мультивектора по індексах $j, k$.

Порівняння з векторним добутком векторів у тривимірному просторі

Розглянемо згортку бівектора з вектором:

$(38) \qquad a^j (\mathbf{b} \wedge \mathbf{c})_{ij} = a^j (b_i c_j - b_j c_i) = b_i (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) - c_i (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})$

а також властивість зовнішнього добутку трьох векторів:

$(39) \qquad \mathbf{a} \wedge \mathbf{b} \wedge \mathbf{c} = \mathbf{b} \wedge \mathbf{c} \wedge \mathbf{a} = \mathbf{c} \wedge \mathbf{a} \wedge \mathbf{b}$

Порівняємо з наступними формулами векторного добутку трьохмірних векторів:

$(40) \qquad \mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = \mathbf{b} (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) - \mathbf{c} (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})$

$(41) \qquad \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = \mathbf{b} \cdot (\mathbf{c} \times \mathbf{a}) =\mathbf{c} \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{b})$

Ми бачимо, що формули (40) і (41) аналогічні формулам (38) і (39), але якби переставлені. Ця переставленість виникає тому, що векторний добуток є дуальним тензором до бівектора:

$(42) \qquad (\mathbf{a} \times \mathbf{b})^i = \epsilon^{ijk} a_j b_k = \sum_{j < k} \epsilon^{ijk} (a_j b_k - a_k b_j)$

де $\epsilon^{ijk}$ є одиничним антисиметричним тензором тривимірного простору.