Зовнішність (топологія)

Зовнішність в загальній топології — це внутрішність доповнення.

Означення

Нехай $(X,\mathcal{T})$ — топологічний простір, де $X$ — довільна множина, а $\mathcal{T}$ — визначена на ній топологія. Нехай дано підмножину $A \subset X.$ Точка $x_0 \in X$ називається зовнішньою то́чкою множини $A,$ якщо існує її окіл $U\in \mathcal{T}, U\ni x_0$ такий, що

$U \cap A = \emptyset.$

Сукупність усіх зовнішніх точок множини називається зовнішністю і позначається $A^{\mathrm{e}}.$

Властивості

• Всі основні властивості зовнішності випливають з властивостей внутрішності і тотожності:

$A^{\mathrm{e}} = \left(A^{\complement}\right)^0;$

• $X = A^0 \cup \partial A \cup A^{\mathrm{e}}.$

Пример

Нехай дана дана дійсна пряма з визначеній на ній стандартній топології. Тоді

• $(a,b)^{\mathrm{e}} = (-\infty,a) \cup (b,\infty).$

Див. також

• Внутрішність;
• Границя (топологія).