Канонічне перетворення

Канонічні перетворення - заміна узагальнених координат та узагальнених імпульсів класичної механічної системи на інші, при якій зберігається вигляд основних рівнянь гамільтонової механіки - рівнянь Гамільтона.

У гамільтоновій механіці стан механічної системи задається узагальненими координатами $q_i$ та імпульсами $p_i$, які вважаються незалежними змінними, та функцією Гамільтона $\mathcal{H}(q_i, p_i)$. Рівняння Гамільтона мають вигляд

$\dot{q}_i = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_i}$

$\dot{p}_i = - \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_i}$

При переході до нових змінних $Q_i$ та $P_i$ форма запису рівнянь Гамільтона загалом не зберігається. Однак серед усіх таких переходів існує клас, який зберігає рівняння Гамільтона в незмінному вигляді при деякій новій функції Гамільтона $\mathcal{H}^\prime(Q_i, P_i)$. Такі перетворення називаються канонічними.

Твірна функція

Рівняння Гамільтона можна отримати з принципу найменшої дії, записаному у вигляді

$\delta \int \left( \sum_i p_i dq_i - \mathcal{H} dt \right) = 0$

В нових змінних теж повинно виконуватися

$\delta \int \left( \sum_i P_i dQ_i - \mathcal{H}^\prime dt \right) = 0$

Рівності нулю варіацій двох виразів можна добитися, якщо ці вирази відрізняються на повний диференціал довільної функції F. Звідси

$\sum_i p_i dq_i - \mathcal{H}dt = \sum_i P_i dQ_i - \mathcal{H}^\prime + dF$,

або

$dF = \sum_i p_i dq_i - \sum_i P_i dQ_i + ( \mathcal{H}^\prime - \mathcal{H} )dt$.

Тому

$p_i = \frac{\partial F}{\partial q_i}, \qquad P_i = - \frac{\partial F}{\partial Q_i}, \qquad \mathcal{H}^\prime = \mathcal{H} -\frac{\partial F}{\partial t}$,

що є системою рівнянь, з яких можна визначити нові змінні через старі.

Фунція F називається твірною функцією канонічного перетворення. Твірну функцію можна вибирати різним чином. У наведених вище виразах вона вибрана залежною від старих і нових координат та часу $F = F(q_i, Q_i, t) \,$. Вибравши твірну функцію можна визначити нові координати, імпульси та нову фунцію Гамільтона, розв'язуючи наведену систему рівнянь.

Твірна функція залежна від старих координат і нових імпульсів

Якщо твірна функція залежить від старих координат і нових імпульсів: $F_1 = F_1(q_i, P_i) \,$ система рівнянь для знаходження зв'язку між новими та старими змінними має вигляд:

$Q_i = \frac{\partial F_1}{\partial P_i}, \qquad p_i = \frac{\partial F_1}{\partial q_i}, \qquad \mathcal{H}^\prime = \mathcal{H} - \frac{\partial F_1}{\partial t}.$

Твірна функція залежна від нових координат і старих імпульсів

Система рівнянь для знаходження зв'язку між новими й старими змінними при твірній функції $F_2 = F_2(Q_i, p_i) \,$ записується у вигляді

$P_i = - \frac{\partial F_2}{\partial Q_i}, \qquad q_i = - \frac{\partial F_2}{\partial p_i}, \qquad \mathcal{H}^\prime = \mathcal{H} - \frac{\partial F_2}{\partial t}.$

Твірна функція залежна від старих і нових імпульсів

При твірній функції $F_3 = F_3(p_i, P_i) \,$, система рівнянь для знаходження зв'язку між старими й новими змінними набуває вигляду

$q_i = - \frac{\partial F_3}{\partial p_i}, \qquad Q_i = \frac{\partial F_3}{\partial P_i}, \qquad \mathcal{H}^\prime = \mathcal{H} - \frac{\partial F_3}{\partial t}.$

Часткові канонічні перетворення

Одним із канонічних перетворень є перетворення, в якому $P_i = - q_i \,$ , а нові координати $Q_i = p_i \,$. В цьому випадку імпульси й координати наче міняються місцями, різниця між ними втрачається, тому при застосуванні гамільтонової механіки величини q і p часто називають просто канонічно спряженими змінними.

Сам рух можна розглядати, як канонічні перетворення. Якщо в певний момент часу t змінні мали значенння $q_i(t) \,$ та $p_i(t) \,$, то в момент часу $t+\tau$ їхні значення $q_i(t+\tau) \,$ та $p_i(t+\tau) \,$ однозначно визначаються початковими умовами і задовольняють тим же рівнянням Гамільтона. Їх можна вибрати новими канонічно спряженими змінними.

Застосування

Канонічні перетворення застосовуються для спрощення задач класичної механіки або ж для побудови зручних способів знаходження наближених розв'язків.

Історія

Впреше канонічні перетворення застосував у 1846 році Шарль-Ежен Делоне, розглядаючи задачу про обертання Місяця навколо Землі одночасно з обертанням цих небесних тіл навколо Сонця.

Джерела

• Федорченко А.М. (1975). Теоретична механіка. Київ: Вища школа. , 516 с.

• Ландау Л.  Д., Лифшиц Е.  М. (1958). Механика. Теоретическая физика, т.1. Москва: Госиздат. , 206 с.

Це незавершена стаття з фізики. Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.