Канонічне перетворення

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Канонічні перетворення - заміна узагальнених координат та узагальнених імпульсів класичної механічної системи на інші, при якій зберігається вигляд основних рівнянь гамільтонової механіки - рівнянь Гамільтона.

У гамільтоновій механіці стан механічної системи задається узагальненими координатами  q_i та імпульсами  p_i, які вважаються незалежними змінними, та функцією Гамільтона  \mathcal{H}(q_i, p_i) . Рівняння Гамільтона мають вигляд

 \dot{q}_i = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_i}
 \dot{p}_i = - \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_i}

При переході до нових змінних  Q_i та  P_i форма запису рівнянь Гамільтона загалом не зберігається. Однак серед усіх таких переходів існує клас, який зберігає рівняння Гамільтона в незмінному вигляді при деякій новій функції Гамільтона  \mathcal{H}^\prime(Q_i, P_i) . Такі перетворення називаються канонічними.

Твірна функція[ред.ред. код]

Рівняння Гамільтона можна отримати з принципу найменшої дії, записаному у вигляді

 \delta \int \left( \sum_i p_i dq_i - \mathcal{H} dt \right) = 0

В нових змінних теж повинно виконуватися

 \delta \int \left( \sum_i P_i dQ_i - \mathcal{H}^\prime dt \right) = 0

Рівності нулю варіацій двох виразів можна добитися, якщо ці вирази відрізняються на повний диференціал довільної функції F. Звідси

 \sum_i p_i dq_i - \mathcal{H}dt = \sum_i P_i dQ_i - \mathcal{H}^\prime + dF ,

або

 dF = \sum_i p_i dq_i - \sum_i P_i dQ_i + ( \mathcal{H}^\prime - \mathcal{H} )dt .

Тому

 p_i = \frac{\partial F}{\partial q_i}, \qquad P_i = - \frac{\partial F}{\partial Q_i}, \qquad \mathcal{H}^\prime = \mathcal{H} -\frac{\partial F}{\partial t} ,

що є системою рівнянь, з яких можна визначити нові змінні через старі.

Фунція F називається твірною функцією канонічного перетворення. Твірну функцію можна вибирати різним чином. У наведених вище виразах вона вибрана залежною від старих і нових координат та часу  F = F(q_i, Q_i, t) \, . Вибравши твірну функцію можна визначити нові координати, імпульси та нову фунцію Гамільтона, розв'язуючи наведену систему рівнянь.

Твірна функція залежна від старих координат і нових імпульсів[ред.ред. код]

Якщо твірна функція залежить від старих координат і нових імпульсів:  F_1 = F_1(q_i, P_i) \, система рівнянь для знаходження зв'язку між новими та старими змінними має вигляд:

 Q_i = \frac{\partial F_1}{\partial P_i}, \qquad p_i = \frac{\partial F_1}{\partial q_i}, \qquad \mathcal{H}^\prime = \mathcal{H} - \frac{\partial F_1}{\partial t}.

Твірна функція залежна від нових координат і старих імпульсів[ред.ред. код]

Система рівнянь для знаходження зв'язку між новими й старими змінними при твірній функції  F_2 = F_2(Q_i, p_i) \, записується у вигляді

 P_i = - \frac{\partial F_2}{\partial Q_i}, \qquad q_i = - \frac{\partial F_2}{\partial p_i}, \qquad \mathcal{H}^\prime = \mathcal{H} - \frac{\partial F_2}{\partial t}.

Твірна функція залежна від старих і нових імпульсів[ред.ред. код]

При твірній функції  F_3 = F_3(p_i, P_i) \,, система рівнянь для знаходження зв'язку між старими й новими змінними набуває вигляду

 q_i = - \frac{\partial F_3}{\partial p_i}, \qquad Q_i = \frac{\partial F_3}{\partial P_i}, \qquad \mathcal{H}^\prime = \mathcal{H} - \frac{\partial F_3}{\partial t}.

Часткові канонічні перетворення[ред.ред. код]

Одним із канонічних перетворень є перетворення, в якому  P_i = - q_i \, , а нові координати  Q_i =  p_i \, . В цьому випадку імпульси й координати наче міняються місцями, різниця між ними втрачається, тому при застосуванні гамільтонової механіки величини q і p часто називають просто канонічно спряженими змінними.

Сам рух можна розглядати, як канонічні перетворення. Якщо в певний момент часу t змінні мали значенння  q_i(t) \, та  p_i(t) \,, то в момент часу  t+\tau їхні значення  q_i(t+\tau) \, та  p_i(t+\tau) \, однозначно визначаються початковими умовами і задовольняють тим же рівнянням Гамільтона. Їх можна вибрати новими канонічно спряженими змінними.

Застосування[ред.ред. код]

Канонічні перетворення застосовуються для спрощення задач класичної механіки або ж для побудови зручних способів знаходження наближених розв'язків.

Історія[ред.ред. код]

Впреше канонічні перетворення застосував у 1846 році Шарль-Ежен Делоне, розглядаючи задачу про обертання Місяця навколо Землі одночасно з обертанням цих небесних тіл навколо Сонця.

Джерела[ред.ред. код]

  • Федорченко А.М. (1975). Теоретична механіка. Київ: Вища школа. , 516 с.
  • Ландау Л.  Д., Лифшиц Е.  М. (1958). Механика. Теоретическая физика, т.1. Москва: Госиздат. , 206 с.



Фізика Це незавершена стаття з фізики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.