Кардинальне число

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Кардинальним числом (кардиналом) в теорії множин називається об'єкт, який характеризує потужність множини. Кардинальне число деякої множини A позначається як |A| або Card A

Георг Кантор давав таке визначення кардинального числа:"Потужністю даної множини А називається та загальна ідея, яка залишається у нас, коли ми, мислячи про цю множину, відволікаємся як від всіх властивостей його елементів,так і від їх порядку".


Для скінченної множини A кардинальним числом |A| є натуральне число, яким позначається кількість елементів цієї множини.

Для нескінченних множин кардинальне число є узагальненням поняття числа елементів.

Хоча кардинальні числа нескінченних множин не мають відображення в натуральних числах, але їх можна порівнювати:

Нехай A і B нескінченні множини, тоді логічно можливі такі чотири випадки:

  1. Існує взаємно однозначна відповідність між A і B, тобто A ~ B і |A|=|B|.
  2. Існує взаємно однозначна відповідність між множиною A і деякою власною підмножиною B' множини B. Тоді кажуть, що потужність множини A не більша від потужності множини B і записують |A|≤|B|.
  3. Множина A рівнопотужна деякій підмножині множини B і, навпаки, множина B рівнопотужна деякій підмножині множини A, тобто A~B'B і B~A'A. За теоремою Кантора-Бернштейна, у цьому випадку виконується A ~ B, тобто |A|=|B|.
  4. Не існує взаємно однозначної відповідності між множиною A і жодною підмножиною множини B і, також, не існує взаємно однозначної відповідності між множиною B і жодною підмножиною множини A. З цієї ситуації випливало б, що потужності множин A і B непорівнювані між собою.

Однак більш глибокі дослідження в теорії множин показали, що, спираючись на аксіому вибору, можна довести неможливість четвертого випадку.

Таким чином, потужності будь-яких двох множин A і B завжди порівнювані між собою. Отже, для кардинальних чисел |A| і |B| довільних множин A і B виконується одне з трьох співвідношень: |A|=|B|, |A|≤|B| або |B|≤|A|. Якщо |A|≤|B|, однак множина A нерівнопотужна множині B, то |A|<|B|.

Операції над кардинальними числами[ред.ред. код]

Додавання

Нехай а та b два кардинальні числа. Їх сумою a+b називається кардинальне число множини A ∪ B , де А та В - довільні множини, що не перетинаються такі, що: a=[A], b=[B]. Очевидно, що операція додавання комутативна і асоціативна.

Множення

Добутком a \cdot b двох кардинальних чисел а та b називається кардинальне число множини A \times B, де a=[A], b=[B], А та В-довільні множини. Операція множення комутативна та асоціативна.

Піднесення до степеня

Степенем a ^ b кардинального числа а з показником b називається кардинальне число множини A^B, де a=[A], b=[B].

Арифметика кардинальних чисел[ред.ред. код]

Додавання та множення кардинальних чисел є операціями асоціативними та комутативними тобто:

a+(b+c)=(a+b)+c

a+b=b+a

a \cdot(b \cdot c)=(a \cdot b) \cdot c

a \cdot b= b \cdot a

Множення дистрибутивне відносно додавання,тобто:

a \cdot(b+c)=a \cdot b + a \cdot c

Мають місце рівності:

1^a=1

a^1=a

0 \cdot a=0

a+0=a


a^{b+k} = a^b \cdot a^k

(a^b)^k=a^{b \cdot k}

(a \cdot b)^k = a^k\cdot b^k

Істинні наступні твердження:

1) якщо a \le b і b \le c, то a \le c

2) якщо a \le b, то a+c \le b+c

3) якщо a \le b, то a \cdot c \le b \cdot c

4) якщо a \le b, то a^k \le b^k


Теорема 1.

[P(A)]=2^{[A]} для будь-якої множини А.


Теорема 2.(Г.Кантор)

2^a > a для будь-якого кардинального числа а.

Числа алеф[ред.ред. код]

Докладніше: Числа алеф

Кардинальне число множини N всіх натуральних чисел (зокрема, і будь-якої зліченної множини) позначають через \aleph_0 (читається «алеф-нуль»). Кардинальне число континуальних множин позначають c або \aleph_1 («алеф-один»). Наступні кардинальні числа в порядку зростання позначають \aleph_1, \aleph_2,\dots. Г. Кантор довів, що не існує множини найбільшої потужності, тобто не існує найбільшого кардинального числа.

Гіпотеза континуума[ред.ред. код]

Континуум-гіпотеза стверджує, що не існує множини, кардинальне число \aleph якої розташоване між \aleph_0 (кардиналом множини натуральних чисел) і \aleph_1 (кардиналом множини дійсних чисел), тобто \aleph_0 < \aleph < \aleph_1.

Див. також[ред.ред. код]

Статті з математики, пов'язані з числами

Число | Натуральні числа | Цілі числа | Раціональні числа | Ірраціональні числа | Constructible numbers | Алгебраїчні числа | Трансцендентні числа | Computable numbers | Дійсні числа | Комплексні числа | Подвійні числа | Дуальні числа | Бікомплексні числа | Гіперкомплексні числа | Кватерніони | Октоніони | Седеніони | Superreal numbers | Hyperreal numbers | Surreal numbers | Nominal numbers | Ординальні числа | Кардинальні числа | P-адичні числа | Послідовності натуральних чисел | Математичні константи | Великі числа | Нескінченність