Кардіоїда

Побудова кардіоїди

Кардіоїда (грец. καρδία - серце, грец. εἶδος - вид) - плоска лінія, яка описується фіксованою точкою кола, що котиться по нерухомому колі з таким же радіусом. Отримала свою назву через схожість своїх обрисів зі стилізованим зображенням серця.

Кардіоїда є окремим випадком равлика Паскаля, епіциклоіди і синусоїдальної спіралі.

Рівняння

• В прямокутних координатах:

  $(x^2 + y^2)^2 - 2 a x (x^2 + y^2) - a^2 y^2 \, = \, 0$

• В прямокутних координатах (параметричний запис):

$\left\{ \begin{align} & x=2a\cos t(1+\cos t), \\ & y=2a\sin t(1+\cos t) \\ \end{align} \right.$

• В полярних координатах:

  $r = a (1 - \cos\varphi)$

Властивості

• Кардіоїда — алгебраїчна крива четвертого порядку.
• Кардіоїда має один касп.
• Довжина дуги одного витка кардіоїди, що задана формулою

  $r = a (1 - \cos\varphi)$,

дорівнює:

$s = {8a}$.

• Площа, обмежена кардіоїдою, що задана формулою

  $r = a (1 - \cos\varphi)$,

дорівнює:

$S = {3\over 2} \pi a^2$.

Історія

Кардіоїда вперше зустрічається в працях французького вченого Луї Карре (Louis Carrè, 1705 р.). Назву кривій дав Джованні Сальвеміні ді Кастіллоне (Giovanni Salvemini di Castiglione, згадується також як Johann Francesco Melchiore Salvemini Castillon) в 1741 р.

«Випрямлення», тобто обчислення довжини кривої, виконав Ла Ір (Philippe de La Hire), який відкрив криву незалежно, в 1708 р. Також незалежно описав кардіоїду голландський математик Й. Коерсма (J . Koersma, 1741 р.). Надалі до кривої виявляли цікавість багато видатних математиків XVIII-XIX століть.

Література

• Савелов А. А. Плоские кривые. М., 1960.