Картина взаємодії

Квантова механіка

$\Delta x\cdot\Delta p_x \geqslant \frac{\hbar}{2}$

Принцип невизначеності

Вступ · Історія Математичні основи Основа Класична механіка · Інтерференція · Бра-кет нотація · Гамільтоніан · Стара квантова теорія Фундаментальні поняття Вектор стану · Хвильова функція · Суперпозиція · Заплутаність · Вимірювання · Невизначеність · Виключення Паулі · Дуалізм · Декогеренція · Теорема Еренфеста · Тунелювання Експерименти Дослід Девіссона — Джермера · Дослід Штерна — Герлаха · Кіт Шредінгера · Дослід Поппера · Дослід Юнга · Перевірка нерівностей Белла · Фотоефект · Ефект Комптона · Ефект Рамзауера Формулювання Картина Шредінгера · Картина Гейзенберга · Картина взаємодії · Матрична квантова механіка · Інтеграл вздовж траєкторій Рівняння Рівняння Шредінгера · Рівняння Паулі · Рівняння Клейна — Гордона · Рівняння Дірака Інтерпретації Копенгагенська інтерпретація · Теорія прихованих параметрів · Багатосвітова Складні теми Квантова теорія поля · Квантова електродинаміка · Квантова хромодинаміка · Квантова гравітація · Теорія всього Наближені методи Квазікласичне наближення · Теорія збурень · Варіаційний метод Відомі науковці Планк · Ейнштейн · Шредінгер · Гейзенберг · Йордан · Бор · Паулі · Дірак · Фок · Борн · де Бройль · Ландау · Фейнман · Бом · Еверетт

Картина взаємодії (картина Дірака) — спосіб опису квантовомеханічних явищ, проміжний між картиною Шредінгера й картиною Гейзенберга. Така картина закладає залежність від часу й до хвильових функцій, і до операторів.

Перехід до картини взаємодії

Для переходу до картини взаємодії необхідно гамільтоніан системи розділити на дві частини:

$\hat{H} = \hat{H}_0 + \hat{V},$

• $\hat{H}_0$ — гамільтоніан системи без врахування взаємодії між певними її частинами,
• $\hat{V}$ відповідає за опис цієї взаємодії.

Часто таке розділення виконують із тих міркувань, що задача з гамільтоніаном $\hat{H}_0$ розв'язується точно, а $\hat{V}$ є малим збуренням. Зокрема, якщо вихідний гамільтоніан $\hat{H}$ явно залежить від часу, то часто залежність від часу переносять на $\hat{V}$, залишаючи $\hat{H_0}$ незалежним від часу.

Оператор еволюції

Унітарний оператор еволюції $\hat{U}_0(t)$ вводиться таким чином:

$| \psi_S(t) \rangle = \hat{U}_0(t) | \psi_I(t) \rangle,$

де $| \psi_S(t) \rangle$ — хвильова функція в картині Шредінгера. Якщо гамільтоніан $\hat{H_0}$ явно не залежить від часу, то:

$\hat{U}_0(t) = e^{-\frac{i \hat{H_0} t}{\hbar}},$

що випливає з рівняння:

$i\hbar\frac{d \hat{U}_0}{dt}=\hat{H}_0 \hat{U}_0.$

Рівняння руху для операторів

Часова залежність закладається до операторів фізичних величин за допомогою оператора еволюції (аналогічно до картини Гейзенберга):

$\hat{A}_I(t) = \hat{U}_0^{\dagger}(t) \hat{A} \hat{U}_0(t).$

Далі, якщо записати повну похідну від оператора $\hat{A}_I(t)$:

$\frac{d\hat{A}_I(t)}{dt} = \frac{\partial \hat{A}_I(t)}{\partial t} + \frac{i}{\hbar} \hat{H}_0 e^{\frac{i \hat{H}_0 t}{\hbar}} \hat{A} e^{-\frac{i \hat{H}_0 t}{\hbar}} - \frac{i}{\hbar} e^{\frac{i \hat{H}_0 t}{\hbar}} \hat{A} e^{-\frac{i \hat{H}_0 t}{\hbar}} \hat{H}_0 = \frac{\partial \hat{A}_I(t)}{\partial t} + \frac{i}{\hbar} \hat{H}_0 \hat{A}_I(t) - \frac{i}{\hbar} \hat{A}_I(t) \hat{H}_0.$

Остаточно, якщо записати отриманий вираз через комутатор, маємо рівняння руху для операторів:

$i \hbar \frac{d\hat{A}_I(t)}{dt} = i \hbar \frac{\partial \hat{A}_I(t)}{\partial t} + [\hat{A}_I(t), \hat{H}_0].$

Якщо оператор $\hat{A}_I$ явно не залежить від часу, рівняння руху має вигляд:

$i \hbar \frac{d\hat{A}_I}{dt} = [\hat{A}_I, \hat{H}_0].$

Рівняння для хвильових функцій

Записавши оператор взаємодії $\hat{V}$ у картині взаємодії:

$\hat{V}_I(t) = \hat{U}_0^{\dagger}(t) \hat{V} \hat{U}_0(t),$

можна отримати рівняння для хвильових функцій:

$i\hbar\frac{\partial | \psi_I(t) \rangle}{\partial t}=\hat{V}_I(t) | \psi_I(t) \rangle.$

Зв'язок із картинами Шредінгера й Гейзенберга

Картина взаємодії - проміжна між картинами Шредінгера й Гейзенберга. Перехід від картини Шредінгера до картини взаємодії виконується за допомогою оператора еволюції $\hat{U}_0$, що задається опорним гамільтоніаном $\hat{U}_0$. Перейти від картини взаємодії до картини Гейзенберга можна, ввівши ще один оператор еволюції $\hat{\sigma}$, який діє наступним чином:

$| \psi_I(t) \rangle = \hat{\sigma}(t) | \psi_H \rangle$

і задається рівнянням:

$i\hbar\frac{d \hat{\sigma}(t)}{dt}=\hat{V}_I(t) \hat{\sigma}(t).$

Таким чином, можна ввести повний оператор еволюції $\hat{U}(t) = \hat{U}_0(t) \hat{\sigma}(t)$, який переводить хвильову функцію з картини Гейзенберга до картини Шредінгера через картину взаємодії:

$| \psi_S(t) \rangle = \hat{U}(t) | \psi_H \rangle = \hat{U}_0(t) | \psi_I(t) \rangle.$

Див. також

• Картина Шредінгера
• Картина Гейзенберга

Література

• Вакарчук І. О. Квантова механіка. — 4-е видання, доповнене. — Л.: ЛНУ ім. Івана Франка, 2012. — 872 с.
• Мессиа А. Квантовая механика. — М.: Наука, 1978. — Т. 1. — 480 с.