Картина взаємодії

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Квантова механіка
\Delta x\cdot\Delta p_x \geqslant \frac{\hbar}{2}
Принцип невизначеності
Вступ · Історія
Математичні основи

Картина взаємодії (картина Дірака) — спосіб опису квантовомеханічних явищ, проміжний між картиною Шредінгера й картиною Гейзенберга. Така картина закладає залежність від часу й до хвильових функцій, і до операторів.

Перехід до картини взаємодії[ред.ред. код]

Для переходу до картини взаємодії необхідно гамільтоніан системи розділити на дві частини:

 \hat{H} = \hat{H}_0 + \hat{V},
  •  \hat{H}_0  — гамільтоніан системи без врахування взаємодії між певними її частинами,
  •  \hat{V} відповідає за опис цієї взаємодії.

Часто таке розділення виконують із тих міркувань, що задача з гамільтоніаном \hat{H}_0 розв'язується точно, а \hat{V} є малим збуренням. Зокрема, якщо вихідний гамільтоніан \hat{H} явно залежить від часу, то часто залежність від часу переносять на \hat{V}, залишаючи \hat{H_0} незалежним від часу.

Оператор еволюції[ред.ред. код]

Унітарний оператор еволюції \hat{U}_0(t) вводиться таким чином:

| \psi_S(t) \rangle = \hat{U}_0(t) | \psi_I(t) \rangle,

де | \psi_S(t) \rangle — хвильова функція в картині Шредінгера. Якщо гамільтоніан \hat{H_0} явно не залежить від часу, то:

\hat{U}_0(t) = e^{-\frac{i \hat{H_0} t}{\hbar}},

що випливає з рівняння:

i\hbar\frac{d \hat{U}_0}{dt}=\hat{H}_0 \hat{U}_0.

Рівняння руху для операторів[ред.ред. код]

Часова залежність закладається до операторів фізичних величин за допомогою оператора еволюції (аналогічно до картини Гейзенберга):

\hat{A}_I(t) = \hat{U}_0^{\dagger}(t) \hat{A} \hat{U}_0(t).

Далі, якщо записати повну похідну від оператора \hat{A}_I(t):

\frac{d\hat{A}_I(t)}{dt} = \frac{\partial \hat{A}_I(t)}{\partial t} + \frac{i}{\hbar} \hat{H}_0 e^{\frac{i \hat{H}_0 t}{\hbar}} \hat{A} e^{-\frac{i \hat{H}_0 t}{\hbar}} - \frac{i}{\hbar} e^{\frac{i \hat{H}_0 t}{\hbar}} \hat{A} e^{-\frac{i \hat{H}_0 t}{\hbar}} \hat{H}_0 = \frac{\partial \hat{A}_I(t)}{\partial t} + \frac{i}{\hbar} \hat{H}_0 \hat{A}_I(t) - \frac{i}{\hbar} \hat{A}_I(t) \hat{H}_0.

Остаточно, якщо записати отриманий вираз через комутатор, маємо рівняння руху для операторів:

i \hbar \frac{d\hat{A}_I(t)}{dt} = i \hbar \frac{\partial \hat{A}_I(t)}{\partial t} + [\hat{A}_I(t), \hat{H}_0].

Якщо оператор \hat{A}_I явно не залежить від часу, рівняння руху має вигляд:

i \hbar \frac{d\hat{A}_I}{dt} = [\hat{A}_I, \hat{H}_0].

Рівняння для хвильових функцій[ред.ред. код]

Записавши оператор взаємодії \hat{V} у картині взаємодії:

\hat{V}_I(t) = \hat{U}_0^{\dagger}(t) \hat{V} \hat{U}_0(t),

можна отримати рівняння для хвильових функцій:

i\hbar\frac{\partial | \psi_I(t) \rangle}{\partial t}=\hat{V}_I(t) | \psi_I(t) \rangle.

Зв'язок із картинами Шредінгера й Гейзенберга[ред.ред. код]

Картина взаємодії — проміжна між картинами Шредінгера й Гейзенберга. Перехід від картини Шредінгера до картини взаємодії виконується за допомогою оператора еволюції \hat{U}_0, що задається опорним гамільтоніаном \hat{U}_0. Перейти від картини взаємодії до картини Гейзенберга можна, ввівши ще один оператор еволюції \hat{\sigma}, який діє наступним чином:

| \psi_I(t) \rangle = \hat{\sigma}(t) | \psi_H \rangle

і задається рівнянням:

i\hbar\frac{d \hat{\sigma}(t)}{dt}=\hat{V}_I(t) \hat{\sigma}(t).

Таким чином, можна ввести повний оператор еволюції \hat{U}(t) = \hat{U}_0(t) \hat{\sigma}(t), який переводить хвильову функцію з картини Гейзенберга до картини Шредінгера через картину взаємодії:

| \psi_S(t) \rangle = \hat{U}(t) | \psi_H \rangle = \hat{U}_0(t) | \psi_I(t) \rangle.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Вакарчук І. О. Квантова механіка. — 4-е видання, доповнене. — Л.: ЛНУ ім. Івана Франка, 2012. — 872 с.
  • Мессиа А. Квантовая механика. — М.: Наука, 1978. — Т. 1. — 480 с.