Касп (математика)

Звичайний касп на кривій x³–y²=0

В математичній теорії сингулярностей касп (англ. cusp — загострення) є одним з видів особливих точок кривої. А саме: точка $x$ алгебраїчної кривої $X$ над алгебраїчно замкненим полем $k$ називається каспом, якщо поповнення її локального кільця ізоморфно поповненню локального кільця плоскої алгебраїчної кривої $y^2+x^3 = 0$ на початку кординат.

Каспи — локальні особливості, вони не утворюються в точках самоперетину кривих.

Всі каспи плоских кривих дифеоморфні одній з наступних форм x² − y^2k+1 = 0, де k ≥ 1 — ціле число.

Детальніше означення

Розглянемо гладку дійсно-значну функцію двох змінних f(x, y), де x і y - дійсні числа. Отже f діє з площини на пряму. На простір усіх таких гладких функцій поширюється групова дія дифеоморфізмів і перетворень площини і перетворень прямої. Тобто можлива дифеоморфні перетворення як в області визначення так і в області значень функції. Така дія розбиває простір функції на класи еквівалентності - тобто орбіти групової дії. Одна така сім'я класів еквівалентності позначається A_k^± де k невідємне ціле. Функція f належить до типу A_k^± де k якщо вона леєить в орбіті x² ± y^k+1, тобто існує дифеоморфне перетворення координат в базовому і дотичному просторах яке перетворює f в одну з таких форм.

Приклади

Звичайний касп, утворений каустикою світлових променів на дні чашки.

• Звичайний касп x² − y³ = 0, тобто 0-рівень A₂-особливості
• Рамфоїдний касп (з грецької - дзьобоподібний) x² – y⁵ = 0, тобто 0-рівень A₄-особливості.

Посилання

• Bruce, J. W.; Giblin, P. J. (1984). Curves and Singularities. Cambridge University Press. ISBN 0521429994. 
• Porteous, Ian (1994). Geometric Differentiation. Cambridge University Press. ISBN 052139063X. 
• http://www.sciencedaily.com/releases/2009/04/090414160801.htm