Касп (математика)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Звичайний касп на кривій x3y2=0

В математичній теорії сингулярностей касп (англ. cusp — загострення) є одним з видів особливих точок кривої. А саме: точка x алгебраїчної кривої X над алгебраїчно замкненим полем k називається каспом, якщо поповнення її локального кільця ізоморфно поповненню локального кільця плоскої алгебраїчної кривої y^2+x^3 = 0 на початку кординат.

Каспи — локальні особливості, вони не утворюються в точках самоперетину кривих.

Всі каспи плоских кривих дифеоморфні одній з наступних форм x2 − y2k+1 = 0, де k ≥ 1 — ціле число.

Детальніше означення[ред.ред. код]

Розглянемо гладку дійсно-значну функцію двох змінних f(xy), де x і y - дійсні числа. Отже f діє з площини на пряму. На простір усіх таких гладких функцій поширюється групова дія дифеоморфізмів і перетворень площини і перетворень прямої. Тобто можлива дифеоморфні перетворення як в області визначення так і в області значень функції. Така дія розбиває простір функції на класи еквівалентності - тобто орбіти групової дії. Одна така сім'я класів еквівалентності позначається Ak± де k невідємне ціле. Функція f належить до типу Ak± де k якщо вона леєить в орбіті x2 ± yk+1, тобто існує дифеоморфне перетворення координат в базовому і дотичному просторах яке перетворює f в одну з таких форм.

Приклади[ред.ред. код]

Звичайний касп, утворений каустикою світлових променів на дні чашки.
  • Звичайний касп x2 − y3 = 0, тобто 0-рівень A2-особливості
  • Рамфоїдний касп (з грецької - дзьобоподібний) x2y5 = 0, тобто 0-рівень A4-особливості.

Посилання[ред.ред. код]