Квадратична функція

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

У математиці, квадратична функція — це поліноміальна функція з старшим членом другого порядку, тобто функція форми f(x)=ax^2+bx+c,\ a\ne0. Графіком \Gamma_f квадратичної функції служить парабола з віссю, паралельною осі  Oy . При  b = c = 0 вершина параболи опиняється в точці (0, 0)[1].

f(x) = x^2 - x - 2\,\!

Нулі функції[ред.ред. код]

Нулі квадратичної функції

f(x) = ax^2+bx+c\,

це значення x такі, що f(x) = 0.

Коли коефіцієнти a, b і c, — дійсні чи комплексні, тоді корені

x=\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2 a},

де дискримінант визначений як

\Delta = b^2 - 4 a c \, .

Властивості[ред.ред. код]

f(x) = ax^2 ,\!a=\{0.1,0.3,1,3\}\!

Загальні властивості[ред.ред. код]

  1. Область визначення квадратичної функції - вся числова пряма.
  2. При b \ne 0 функція не є парною і не є непарною. При b = 0 квадратична функція - парна.
  3. Квадратична функція неперервна і диференційована на всій області визначення.
  4. Функція має єдину критичну точку x =-\frac{b}{2 a}.
  5. Область зміни функції: при a> 0 - безліч значень функції [- \frac{b^2 -4 ac}{4 a}; + \infty); при a <0 - безліч значень функції (-\infty;-\frac{b^2 -4 ac}{4a}].
f(x) = x^2 + bx,\! b=\{1,2,3,4\}\!
f(x) = x^2 + bx,\! b=\{-1,-2,-3,-4\}\!

Вершина[ред.ред. код]

У загальному випадку вершина параболи лежить в точці  M_0 (x_0; y_0); x_0 =- \frac{b}{2a}; y_0 = f (x_0) = c-\frac{b ^ 2}{4a} . Якщо  a> 0 , То «роги» параболи спрямовані вгору, якщо  a <0 , То вниз.

Екстремуми і перегини[ред.ред. код]

Якщо a> 0, то в точці x =- \frac{b}{2 a} функція має мінімум. При x <- \frac{b}{2 a} функція монотонно спадає, при x> - \frac{b}{2 a} монотонно зростає.

  1. Якщо  a <0, то в точці x =- \frac{b}{2 a} функція має максимум. При \displaystyle x <- \frac{b}{2 a} функція монотонно зростає, при x> - \frac{b}{2 a} монотонно спадає.
  2. Точка графіка квадратичної функції з абсцисою x =- \frac{b}{2a} і ординатою y = - \frac{b^2 -4 ac}{4 a} називається вершиною параболи.

Графік[ред.ред. код]

  1. Графік квадратичної функції перетинається з віссю  \displaystyle Oy в точці  \displaystyle y = c. У випадку, якщо  \displaystyle b^2 -4 ac> 0, графік квадратичної функції перетинає вісь Ox в двох точках (різні дійсні корені квадратного рівняння); якщо  \displaystyle b^2 -4 ac = 0 (квадратне рівняння має один корінь кратності 2), графік квадратичної функції торкається осі 0x в точці \displaystyle x =- \frac{b}{2 a}; якщо \displaystyle b^2 -4 ac <0 , перетину з віссю Ox немає.
  2. З запису квадратичної функції також випливає, що графік функції симетричний відносно прямої x =- \frac{b}{2 a} - образу осі ординат при паралельному перенесенні r = -\frac{b}{2 a}; 0).
  3. Графік функції \displaystyle F(x) = ax^2 + bx + c (або f (x) = a \left(x + \frac b{2 a}\right)^2 - \frac{b^2-4ac}{4a}) може бути отриманий з графіка функції  \displaystyle f(x)=x^2 наступними перетвореннями :
    1. паралельним перенесенням r = (- \frac b{2 a}; 0);
    2. стисненням (або розтягуванням) до осі абсцис в а разів;
    3. паралельним перенесенням r = (0; - \frac{b^2 -4 ac}{4 a})[1].

Похідна[ред.ред. код]

 y^\prime = \left( x^2 \right)^\prime = 2x .

Первісна[ред.ред. код]

 \int x^2 dx = \frac{1}{3}x^3 + C

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. а б Ярмонтовіч Д.А. (2006). «Реферат: Функції». Архів оригіналу за 2013-07-13. Процитовано 2011-06-03.