Квадратична функція

У математиці, квадратична функція — це поліноміальна функція з старшим членом другого порядку, тобто функція форми $f(x)=ax^2+bx+c,\ a\ne0$. Графіком $\Gamma_f$ квадратичної функції служить парабола з віссю, паралельною осі $Oy$. При $b = c = 0$ вершина параболи опиняється в точці $(0, 0)$.

$f(x) = x^2 - x - 2\,\!$

Нулі функції

Нулі квадратичної функції

$f(x) = ax^2+bx+c\,$

це значення x такі, що f(x) = 0.

Коли коефіцієнти a, b і c, — дійсні чи комплексні, тоді корені

$x=\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2 a},$

де дискримінант визначений як

$\Delta = b^2 - 4 a c \, .$

Властивості

$f(x) = ax^2 ,\!$$a=\{0.1,0.3,1,3\}\!$

Загальні властивості

1. Область визначення квадратичної функції - вся числова пряма.
2. При $b \ne 0$ функція не є парною і не є непарною. При $b = 0$ квадратична функція - парна.
3. Квадратична функція неперервна і диференційовна на всій області визначення.
4. Функція має єдину критичну точку $x =-\frac{b}{2 a}$.
5. Область зміни функції: при $a> 0$ - безліч значень функції $[- \frac{b^2 -4 ac}{4 a}; + \infty)$; при $a <0$ - безліч значень функції $(-\infty;-\frac{b^2 -4 ac}{4a}]$.

$f(x) = x^2 + bx,\!$ $b=\{1,2,3,4\}\!$

$f(x) = x^2 + bx,\!$ $b=\{-1,-2,-3,-4\}\!$

Вершина

У загальному випадку вершина параболи лежить в точці $M_0 (x_0; y_0); x_0 =- \frac{b}{2a}; y_0 = f (x_0) = c-\frac{b ^ 2}{4a}$. Якщо $a> 0$ , То «роги» параболи спрямовані вгору, якщо $a <0$ , То вниз.

Екстремуми і перегини

Якщо $a> 0$, то в точці $x =- \frac{b}{2 a}$ функція має мінімум. При $x <- \frac{b}{2 a}$ функція монотонно спадає, при $x> - \frac{b}{2 a}$ монотонно зростає.

1. Якщо $a <0$, то в точці $x =- \frac{b}{2 a}$ функція має максимум. При $\displaystyle x <- \frac{b}{2 a}$ функція монотонно зростає, при $x> - \frac{b}{2 a}$ монотонно спадає.
2. Точка графіка квадратичної функції з абсцисою $x =- \frac{b}{2a}$ і ординатою $y = - \frac{b^2 -4 ac}{4 a}$ називається вершиною параболи.

Графік

1. Графік квадратичної функції перетинається з віссю $\displaystyle Oy$ в точці $\displaystyle y = c$. У випадку, якщо $\displaystyle b^2 -4 ac> 0$, графік квадратичної функції перетинає вісь $Ox$ в двох точках (різні дійсні корені квадратного рівняння); якщо $\displaystyle b^2 -4 ac = 0$(квадратне рівняння має один корінь кратності 2), графік квадратичної функції торкається осі 0x в точці $\displaystyle x =- \frac{b}{2 a}$; якщо $\displaystyle b^2 -4 ac <0$, перетину з віссю $Ox$ немає.
2. З запису квадратичної функції також випливає, що графік функції симетричний відносно прямої $x =- \frac{b}{2 a}$ - образу осі ординат при паралельному перенесенні $r = -\frac{b}{2 a}; 0)$.
3. Графік функції $\displaystyle F(x) = ax^2 + bx + c$ (або $f (x) = a \left(x + \frac b{2 a}\right)^2 - \frac{b^2-4ac}{4a}$) може бути отриманий з графіка функції $\displaystyle f(x)=x^2$ наступними перетвореннями :
   1. паралельним перенесенням $r = (- \frac b{2 a}; 0)$;
   2. стисненням (або розтягуванням) до осі абсцис в а разів;
   3. паралельним перенесенням $r = (0; - \frac{b^2 -4 ac}{4 a})$.

Похідна

$y^\prime = \left( x^2 \right)^\prime = 2x$.

Первісна

$\int x^2 dx = \frac{1}{3}x^3 + C$

Див. також

• Квадратичне програмування