Квадратичне поле

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Квадратичне полерозширення степеня 2 поля раціональних чисел \Q. Будь-яке квадратичне поле має вигляд \Q[\sqrt d], де d \in \Q, \; \sqrt d \notin \Q, тобто одержується приєднанням до поля \Q елемента \sqrt d.

\Q [\sqrt{d_1}] = \Q [\sqrt{d_2}] \iff d_1=c^2d_2, де c \in \Q. Тому будь-яке квадратичне поле має вид \Q[\sqrt d], де dціле раціональне число вільне від квадратів, що однозначно визначається цим полем. Надалі d вважається саме таким.

При d > 0 поле \Q[\sqrt d] називається дійсним квадратичним полем, а при d < 0 — уявним полем. Як фундаментальний базис поля \Q[\sqrt d] тобто базис кільця цілих чисел поля \Q[\sqrt d] над кільцем цілих раціональних чисел \Z, можна взяти

\left \{ 1, \frac{1+\sqrt d}2\ \right \} при d \equiv 1 \pmod{4};
\left \{ 1, d \right \} при d \equiv 2, 3 \pmod{4}.

Дискримінант D поля \Q[\sqrt d] рівний відповідно d при d \equiv 1 \pmod{4} і 4d при d \equiv 2, 3 \pmod{4}.

Група одиниць[ред.ред. код]

Уявні квадратичні поля — єдиний тип полів (окрім \Q) із скінченною групою одиниць (тобто групою оборотних елементів кільця цілих чисел поля). Ця група має:

  • порядок 4 для \Q [\sqrt{- 1}] і твірну \sqrt{-1},
  • порядок 6 для \Q [\sqrt{- 3}] і твірну \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{-3}}{2}\right),
  • порядок 2 і твірну (-1) для всіх інших уявних квадратичних полів.

Для дійсних квадратичних полів група одиниць ізоморфна прямому добутку \ \{\pm 1 \} \times \{\epsilon\}, де \{\pm 1\} — група порядку 2, породжена числом -1, і \{\epsilon\} — нескінченна циклічна група, породжена основною одиницею \epsilon. Наприклад, для поля \Q[\sqrt d], ~\epsilon = 1 + \sqrt 2.

Розклад простих ідеалів[ред.ред. код]

Закон розкладу простих ідеалів в квадратичному полі допускає просте формулювання: полю \Q[\sqrt d] можна зіставити символ Кронекера — Якобі. Якщо рпросте число і (D, p) = 1, то ідеал (p) = p O_{\Q [\sqrt d]} простий в O_{\Q [\sqrt d]} при \left(\frac Dp\right) = -1, і розпадається в добуток двох простих ідеалів при \left(\frac Dp\right) = 1. Якщо D ділиться на р, то (p) є квадратом деякого простого ідеала.

Група класів ідеалів квадратичного поля вивчена краще, ніж для інших класів полів. У разі уявних квадратичних полів теорема Бруера — 3ігеля показує, що число класів ідеалів прямує до нескінченності при d \to \infty. Є рівно 9 однокласних уявних квадратичних полів, а саме при d = - 1, -2, -3, -7, - 11, -19, -43, -67, -163 (див. дискримінанти Гауса). Для дійсних квадратичних полів невідомо чи є скінченною множина однокласних полів.

Існує нескінченно багато квадратичних полів (як уявних, так і дійсних), число класів яких ділиться на дане натуральне число.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]